24明史-第47部分
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张廷玉》明史》志第九 历三
志第九 历三
▲大统历法一下法原
日月五星平定三差
太阳盈缩平立定三差之原。
冬至前后盈初缩末限，八十八日九十一刻，就整。离为六段，每段各得一十四日八十二刻。就整。各段实测日躔度数，与平行相较，以为积差。
积日 积差
第一段 一十四日八二 七千零五十八分零二五
第二段 二十九日六四 一万二千九百七十六三九二
第三段 四十四日四六 一万七千六百九十三七四六二
第四段 五十九日二八 二万一千一百四十八七三二八
第五段 七十四日一零 二万三千二百七十九九九七
第六段 八十八日九二 二万四千零二十六一八四
各置其段积差，以其段积日除之，为各段日平差。置各段日平差，与后段日平差相减，为一差。置一差，与后段一差相减，为二差。
日平差 一差 二差
第一段 四百七十六分二五 三十八分四五 一分三八
第二段 四百三十七分八零 三十九分八三 一分三八
第三段 三百九十七分九七 四十一分二一 一分三八
第四段 三百五十六分七六 四十一分五九 一分三八
第五段 三百一十四分一七 四十三分九七
第六段 二百七十零分二零
置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，为凡平积。以第二段二差一分三十八秒，去减第一段一差十八分四十五秒，余三十七分零七秒，不凡平积差。另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，为凡立积差。以凡平积差三十七分零七秒，加入凡平积四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，为定差。
以凡立积差六十九秒，去减凡平积差三十七分零七秒，余三十六分三十八秒为实，以段日一十四日八十二刻为法除之，得二分四十六秒为平差。置凡立积差六十九秒为实，以段日为法除二次，得三十一微，为立差。
夏至前后缩初盈末限，九十三日七十一刻，就整。离为六段，每段各得一十五日六十二刻。就整。各段实测日躔度数，与平行相较，以为积差。
积日 积差
第一段 一十五日六二 七千零五十八分九九零四
第二段 三十一日二四 一万二千九百七十八六五八
第三段 四十六日八六 一万七千六百九十六六七九
第四段 六十二日四八 二万万一千一百五十零七二九六
第五段 七十八日一零 二万三千二百七十八四八六
第六段 九十三日七二 二万四千零百一十七六二四四
推日平差、一差、二差术，与盈初缩末同。
日平差 一差 二差
第一段 四百五十一分九二 三十六分四七 一分三三
第二段 四百一十五分四五 三十七分八零 一分三三
第三段 三百七十七分六五 三十九分一二 一分三三
第四段 三百三十八分五二 四十零分四六 一分三三
第五段 二百九十八分零六 四十一分七九
第六段 二百五十六分二七
置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，为凡平积。以第一段二差一分三十三秒，去减第一段一差三十六分四十七秒，余三十一分一十四秒，为凡平积差。另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，为凡立积差。以凡平积差三十五分一十四秒，加入凡平积四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，为定差。以凡‘立积差六十六秒五十微，去减凡平差三十五分一十四秒，余三十四分四十七秒五十微为实，以段日一十五日六二为法除之，得二分二十一秒，为平差。置凡立积差六十六秒五十微为实，以段日为法，除二次，得二十七微，为立差。
凡求盈缩，以入历初末日乘立差，得数以加平差，再以初末日乘之，得数以减定差，余数以初末日乘之，为盈缩积。
凡盈历以八十日九零九二二五为限，缩历以九十三日七一二零二五为限。在其限已下为初，以上转减半岁周馀不末。盈初是人冬至后顺推，缩末是从冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈积同。缩初是从夏至后顺推，盈末是从夏至前逆溯，其距夏至同，故其缩积同。
表格略
▲盈缩招差图说
盈缩招生，本为一象限之法。如盈历则以八十八日九十一刻为象限，缩历则以九十三日七十一刻为象限。今止作九限者，举此为例也。其空格九行定差本数，为实也。其斜绵以上平差立差之数，为法也。斜绵以下空格之定差，乃余实也。假如定差为一万，平差为一百，立差为单一。今求九限法，以九限乘定差得九万为实。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。并两数得八百二十九为法。以法减实，余八万一千一百七十一，为九限积。又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，并两数得九进八十一为法，定差一万为实，以法减实，余矣千零一十九，即九限末位所书之定差也。于是瑞以九限乘余实，得八万一千一百七十一，为九限积，与前所不所得不同。盖前法是先乘后减，又法是先减后乘，其理一也。
按《授时历》于七政盈缩，并以垛积招差立算，其污七巧合天行，与西人用小轮推步之法，殊途同归。然世所传《九章》诸书，不载其术，《历草》载其术，而不言其故。宣城梅文鼎为之图解，于平差、立差之理，垛积之法，皆有以发明其所以然。有专书行于世，不能备录，谨录《招生图说》，以明立法之大意云。
盈初缩末 置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，为加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，为平立合差。
置定差五百一十三分三十二秒，内减平差二分四十六秒，再减立差三十一微，余五百一十零分八十五秒六十九微，为加分。
缩初盈末 置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，为加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，为平立合差。
置定差四百八十七分零六秒，内减平差二分二十一秒，再减立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，为加分。
已上所推，皆初日之数。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，为次日平立合差。以平立合差减其日加分，为次日加分，盈缩并同。其加分累积之，即盈缩积，其数并见立成。
▲太阴迟疾平立三差之原
太阴转周二十七日五十五刻四六。测分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象为法，除转周日，得每象六日八八八六五，分为七段，每段下实测月行迟疾之数，与平行相较，以求积差。
积限 积差
第一段 一十二 一度二十八分七一二
第二段 二十四 二度四十五分九六一六
第三段 三十六 三度四十八分三七九二
第四段 四十八 四度三十二分五九五二
第五段 六十 四度九十五分二四
第六段 七十二 五度三十二分九四四
第七段 八十四 五度四十二分三三七六
各置其段积差，以其段积限为法除之，为各段限平差。置各段限平差，与后段相减为一差。置一差，与后段一差相减为二差。
限平差 一差 二差
第一段 一十零分七二六零 四十七秒七六 九秒三六
第二段 一十零分二四八四 五十七秒一二 九秒本六
第三段 九分六七七二 六十六秒四八 九秒三六
第四段 九分零一二四 七十五秒八四 九秒三六
第五段 八分二五四零 八十五秒二零 九秒三六
第六段 七分四零二零 九十四秒五六
第七段 六分四五六四
置第一段限平差一十零分七二六为凡平积。置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六减之，余三十八秒四十微，为凡平积差。另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，为凡立积差。以凡平积差三十八秒四十微，加凡平积一十零分七二六，得一十一分一十一秒，为定差。置凡平积差三十八秒四十微，以凡立积差四秒六十八微减之，余三十三秒七十二微为实，以十二限为法除之，得二秒八十一微，为平差。置凡立积差四秒六十八微为实，十二限为法，除二次，得三微二十五纤，为立差。
凡求迟疾，皆以入历日乘十二限二十分，以在八十四限已下为初，已上转减一百六十八限余为末。各以初末限乘立差，得数以加平差，再以初末限乘之，得数以减定差，余以初末限乘之，为迟疾积。其初限是从最迟最疾处顺推至后，末限是从最迟最疾处逆溯至前，其距其距最迟疾处同，故其积度同。太阴与太阳立法同，但太阳以定气立限，故盈缩异数。太阴以平行立限，故迟疾同原。
布立成法 置立差三微二十五纤，以六因之，得一十九微五十纤，为损益立差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加损益立差一十九微五十纤，共得五秒八十一微，为初限平立合差。自此以损益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，积至二十一秒四一五，为平立合差之极。八十一限下差一秒七八零九，八十二限下一秒七八零八，至八十三限下，平立合差，与益分中分，为益分之终。八十四限下差，亦与损分中分，为损分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以损益立差累减之，即每限平立合差，至末限与初限同。置定差一十一分一十一秒，内减平差二秒八十一微，再减立差三微二十五纤，余一十一分零八秒一十五微七十五纤为加分定差，即初限损益分。置损益分，以其限平立合差益减损加之。即为次限损益分。以益分积之，损分减之，便为其下迟疾度。以八百二十分为一限日率，累加八百二十分为每限日率。以上俱详立成。
五星平立定三差之原 凡五星各以实测，分其行度为八段，以求积差，略如日月法。
木星立差加，平差减。
积日 积差
第一段 一十一日五十刻 一度二一五二九七一一二
第二段 二十三日 二度三四零五二一四
第三段 三十四日五十刻 三度三五四一三七二六五
第四段 四十六日 四度二三四六零九一二
第五段 五十七日五十刻 四度九六零四零一三七五
第六段 六十九日 五度五零九九七八四四
第七段 八十零日五十刻 五度八六一八零四七二五
第八段 九十二日 五度九九四三四四六四
凡平差 凡平较 凡立较
第一段 一十分五六七八零一 三十九秒一六二一 六秒二四二二
第二段 一十分一七六一八 四十五秒四零四三 六秒二四二二
第三段 九分七二二一三七 五十一秒六四六五 六秒二四二二
第四段 九分二零五六七二 五十七秒八八八七 六秒二四二二
第五段 八分六二六七八五 六十四秒一三零九 六秒二四二二
第六段 七分九八五四七六 七十零秒三七二一 六秒二四二二
第七段 七分二八一七四五 七十六秒六一五三
第八段 六分五一五五九二
各置其段所测积差度为实，以段日为法除之，为凡平差。各以凡平差与次段凡平差相较，为凡平较。又以凡平较与次段凡平较相较，为凡立较。置第一段凡平较三十九秒一六二一，减其下凡立较六秒二四二二，余三十二秒九一九九，为初段平立较。加初段凡平差一十分五六七八零一，共得一十零分八十九秒七十零微，为定差。秒置万位。置初段平立较差三十二秒九一九九，内减凡立较之半，三秒一二一一，余二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纤为平差。置凡立差之半，三秒一二一一，以段日为法除二次，得二微三十六纤为立差。
已上为木星平立定三差之原。
火星盈初缩末。立差减，平差减。
积日
第一段 七日六十二刻五十分
第二段 一十五日二十五刻
第三段 二十二日八十七刻五十分
第四段 三十零日五十零刻
第五段 三十八日一十二刻五十分
第六段 四十五日七十五刻
第七段 五十三日三十七刻五十分
第八段 六十一日
积差
第一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五
第二段 一十一度六零零一七五七四三五九三七五
第三段
