中外科学家发明家丛书:高斯-第1部分

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高　斯　


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　　　　　卡尔·弗列德里奇·高斯（Carl　Friedrich　Gauss，公元1777—1855）　

是德国18世纪末到19世纪中叶的伟大数学家、天文学家和物理学家，被誉　

为历史上最有才华的数学家之一。在数学上，高斯的贡献遍及纯粹数学和应　

用数学的各个领域。特别是在数论和几何学上的创新，对后世数学的发展有　

着深刻的影响。由于他非凡的数学才华和伟大成就，人们把他和阿基米德、　

牛顿并列，同享盛名，并尊称他为“数学王子”。德国数学家克莱因这样评　

价高斯：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后　

一个使人肃然起敬的顶峰便是高斯——那样一个在广大丰富的区域充满了生　

命的新元素。”　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、数学神童　



　　　　　在距德国柏林约　200公里处有一座美丽的城市——布伦瑞克　

　（Brunswick）。1777年4月30日，高斯诞生在这个城中的一个农民家。父　

亲格布哈特·迪特里希·高斯是一个地道的农夫。早年，他曾从其父那里学　

得一手好农活，不到20岁便在附近庄园从事园艺。他先后做过护堤人、泥水　

匠和喷泉技师等。据布伦瑞克教堂记事簿中高斯诞生记录的记载，他父亲的　

职业是屠夫。高斯父亲和第一个妻子共同生活了10多年，未生孩子就因病去　

世了。1776年，高斯的父亲同石匠赫里斯托夫·宾泽的女儿结婚，也就是高　

斯的母亲罗捷娜。高斯的母亲读过几年书，认得一些字，但不能写信。她结　

婚时已经34岁，婚后只生了高斯一个孩子。　

　　　　　高斯的父亲性格坚毅而严厉，但母亲却温柔而又聪慧。母亲对他备加疼　

爱，因而高斯喜欢母亲胜于父亲。　

　　　　　高斯聪敏早慧，他的数学天赋在童年时代就已显露。高斯的父亲虽是个　

农夫，但有一定的书写和计算能力。在高斯3岁时，一天，父亲聚精会神地　

算帐。当计算完毕，父亲念出数字准备记下时，站在一旁玩耍的高斯用微小　

的声音说：“爸爸，算错了！结果应该是这样……”父亲惊愕地抬起头，看　

了看儿子，又复核了一次，果然高斯说的是正确的。　

　　　　　后来高斯回忆这段往事时曾半开玩笑地说：“我在学会说话以前，已经　

学会计算了。”　

　　　　　在高斯启蒙教育中，舅舅弗雷德里希·本茨对他影响较大。本茨是位技　

术高超的锦缎织工，勤学好思，头脑机敏。他是高斯家的常客。他十分喜爱　

高斯，并经常给高斯讲故事，同他做游戏。　

　　　　　一次，高斯与舅舅出去游玩。走到河边时，只见河的上游漂来一根木头。　

　　　　　舅舅问：“高斯，你说木头为什么不沉下去？”　

　　　　　　“木头轻呗。”高斯回答道。　

　　　　　舅舅弯下腰，捡起一颗石子，又问：“这颗石子重还是那段木头重？”　

　　　　　　“木头重。”高斯说。　

　　　　　本茨并不吱声，他用力一扔，扑通一声，石子沉到了河底。　

　　　　　本茨用这种方法启发诱导高斯。　

　　　　　为了使高斯更好地成长，舅舅还为他买来不少儿童读物。高斯十分喜欢　

书里的故事，如饥似渴地读着。父亲对儿子的读书嗜好不以为然。每天，天　

还没有完全黑下来，就催促儿子上顶楼睡觉，以便节约燃料。顶楼又矮又小，　

而且还没有灯。高斯急中生智，想出了个好办法。他找来一根芜菁，把里面　


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挖空，塞进油脂，再用粗棉搓一根棉条做灯芯。借着微弱的光亮，贪婪地咀　

嚼着书里的每一个字。知识的泉水汩汩地滋润着高斯幼小的心田。　

　　　　　1784年，高斯7岁，父亲把他送入耶卡捷林宁国民小学读书。教师是布　

伦瑞克小有名气的“数学家”比纳特。当时，这所小学条件相当简陋，低矮　

潮湿的平房，地面凹凸不平。就在这所学校里，高斯开始了正规学习，并在　

数学领域里一显他的天才。　

　　　　　1787年，高斯三年级。一次，比纳特给学生出了道计算题：　

　　　　　1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝？　

　　　　　不料，老师刚叙述完题目，高斯很快就将答案写在了小石板上：5050。　

当高斯将小石板送到老师面前时，比纳特不禁大吃一惊。结果，全班只有高　

斯一人的答案是对的。　

　　　　　高斯在计算这道题时用了教师未曾教过的等差级数的办法。即在1至100　

中，取前后每一对数相加，1＋100，2＋99，……，其和都是101，这样一共　

有50个101，因此，101×50＝5050，结果就这样很快算出来了。　

　　　　　通过这次计算，比纳特老师发现了高斯非凡的数学才能，并开始喜爱这　

个农家子弟。比纳特给高斯找来了许多数学书籍供他阅读，还特意从汉堡买　

来数学书送给高斯。高斯在教师的帮助下，读了很多书籍，开拓了视野。　

　　　　　“他已经超过我了，”比纳特不得不承认，“我没有更多东西可以教他　

了。”　

　　　　　在这所学校里，有一位名叫约翰·马丁·巴蒂尔（1769—1836）的青年。　

巴蒂尔是比纳特的助手，他的工作是教小学生写字和削鹅翎笔。巴蒂尔后来　

成了德国数学家。由于对数学有着共同的爱好，两人很快成了好朋友。巴蒂　

尔买来代数分析书籍成了他们共同的课本。高斯不但看书，而且开始对数学　

大师们的某些“证明”不客气地提出挑战。　

　　　　　1788年，高斯小学毕业了，经过比纳特和巴蒂尔的再三劝说，高斯的父　

亲才同意儿子继续升学，学费由比纳特和巴蒂尔负担。这一年，高斯以优异　

的成绩考入布伦瑞克高级文科中学。在这所学校里，他很快地掌握了古德语、　

拉丁语和希腊语的主要课程。由于他在古典文学上的良好基础和独到之处，　

他一开始就上了二年级。过了两年，他又升到了高中哲学第一班学习。这时，　

高斯仍未放弃对数学的爱好。　

　　　　　1788年，高斯11岁时，巴蒂尔买到了他们盼望已久的大数学家欧拉著　

的《代数的完整介绍》一书。这是公认的代数学的权威著作。高斯对二项式　



　　　　　　　　　n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n　

　（1＋x）定理产生了浓厚的兴趣。欧拉二项式　（1＋x）的展开式是这样叙　

述的：当n为自然数时，展开式有有限项；当n为非自然数时，展开式有无　

限项。高斯对这一结论颇感兴趣，便尝试对它作出证明。关于这个证明的详　

细内容现在还没有留下可靠的资料，但即使这个证明是不完善的，至少也反　

映了高斯治学的严谨。高斯是公认的现代数学中第一个严格证明论者，他对　

分析的严密性要求影响了整个数学界。　

　　　　　12岁时，高斯对统治了2000多年的欧几里得几何是否是唯一的几何真　

理产生了怀疑，到16岁时，他已清楚地看到非欧几何的曙光。　

　　　　　由于高斯聪明好学，他很快成为布伦瑞克远近闻名的人物。　

　　　　　一天，在放学回家的路上，高斯边走边看书，不知不觉地走到了斐迪南　

公爵　（？—1806）的门口。在花园里散步的公爵夫人看见一个小孩捧着一本　

大书竟如此着迷。于是叫住高斯，问他在看什么书。当她发现高斯读的竟是　


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欧拉的《微分学原理》时，十分震惊，她把这件事告诉了公爵。　

　　　　　1791年，经卡罗琳学院讲师冯·齐美尔曼介绍，斐迪南公爵召见了高斯。　

通过简单的交谈，公爵喜欢上了这个略带羞涩的孩子，并对他的才华表示赞　

赏。公爵同意作为高斯的资助人，让他接受高等教育。　

　　　　　1792年，高斯在公爵的资助下进入了布伦瑞克的卡罗琳学院学习。在此　

期间，他除了阅读学校规定必修的古代语言、哲学、历史、自然科学外，还　

攻读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的著作。高斯十分推崇这三位前辈，至今　

还留有他读牛顿的《普遍的算术》和欧拉的《积分学原理》后的体会笔记。　

在对这些前辈数学家原著的研究中，高斯了解到当时数学中的一些前沿学科　

的发展情况。由于受欧拉的影响，高斯对数论特别爱好，在他还不到15岁时，　

就开始了对数论的研究。从这时起，高斯制定了一个研究数论的程序：确定　

课题──实践　（计算、制表、或称实验）——理论（通过归纳发现有待证明　

的定律）──实践（运用定律进一步作经验研究）──理论（在更高水平上　

表述更普遍的规律性和发现更深刻的联系）。尽管开始研究时并不那么自觉　

和完善地执行，但高斯始终以极其严肃的态度对待他从小就开始的事业。　

　　　　　1795年，高斯结束了卡罗琳学院的学习。10月，进入了哥廷根大学读书。　

从此，数学神童开始了对数学的研究。　


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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、大学生活　



　　　　　哥廷根大学成立于1737年，是当时德国一所著名大学。它以藏书丰富和　

教授的知名誉满全国。1795年10月11日，高斯到这所大学报到，开始了大　

学生活。　

　　　　　18世纪，德国的启蒙运动波及全国，也影响了哥廷根大学的校内生活。　

在学校里，民主思潮和自然科学的交流空前活跃。许多进步教师开办了讲座，　

如：曾创立欧洲语言学校的古典语言学家海涅开设艺术史和考古史课程；历　

史学家施勒策尔发表了批判专制统治体制的专门演说；才华横溢的物理学家　

李希腾贝尔举办科学讲座。这些学术活动吸引着无数的学生，对高斯自然也　

起着强烈的熏陶作用。　

　　　　　高斯虽然是个学生，但他边学习边研究前人未曾解开的数学之谜。1795　

年，他对数论中的二次互反定律第一个作出严格的证明。二次互反定律是欧　

拉首次发现的，这是一个了不起的成就。但是，欧拉没有对它进行证明，只　

举出几个例子作为验证。勒让德在1785年独立宣布了这一定理，并且先后给　

出了两个证明。可惜他的证明并不完备，因为他回避了一些重要的难点。高　

斯运用数学归纳法证明了这个定律，以致凡是见过这证明的数学家无不拍案　

叫绝。高斯对此十分重视，称它为“黄金定理”。对于这样重要的定理，高　

斯认为有一个证明还不够。他反复思考多年，先后给出了6个不同的证明。　

他认为“绝不能以为”获得一个证明以后“研究便告结束，或把寻找另外的　

证明当作多余的奢侈品”。因为，“有时候，你一开始未能得到一个最简单，　

最美妙的证明，但正是这样的证明才能深入到高等算术真理的奇妙联系中　

去。这是我们继续研究的活力，并且最能使我们有所发现。”由此可见，高　

斯对科学的严谨态度。今天，关于这个定律的证明已有50多个，但高斯对这　

个定律的贡献仍是不可低估的。　

　　　　　高斯是一个兴趣十分广泛的学生，他既喜欢自然科学，也喜爱文学、绘　

画等社会科学。他在语言学方面有着突出的表现，他不仅能阅读拉丁文和希　

腊文，而且还能用它们来写文章，文字表达能力极强。在上大学的第一学年　

中，他对自己究竟是研究数学还是专攻古典文学犹豫不决。因为，这些专业　

他都爱不忍释。但是，1796年3月30日，高斯出色地解决了数学史上的一　

个难题——正　17边形的尺规作图这件事，终于促使他下定了攻读数学的决　

心。　

　　　　　尺规作图是古希腊学者提出的数学问题。早在欧几里得的时候，人们就　

已经能仅用直尺和圆规作出正三边形、正四边形、正五边形和正12边形。但　

是，当他们试图用这两种工具作正7边形、正11边形或正17边形时，便遇　

到了极大的困难。在后来的两千多年间，人们虽曾作过许多努力，却都未能　

成功。于是，有关这类图形的尺规作图就成了世界难题，向人类的智慧提出　

了严峻的挑战。当时的许多数学家都认为这个问题是不能解决的。　

　　　　　1796年3月30日这一天，高斯正在故乡布伦瑞克家中休假。清晨起床　

后不久，他就用圆规和直尺成功地画出了正17边形。之后，他又提出并证明　

了这种作图的可能性的条件。假期结束后，高斯带着他的结果去见哥廷根大　

学教授、他的老师克斯特纳。克斯特纳听说高斯正在进行正17边形的作图，　

并且称自己已经解决了，很不相信。他告诉高斯，关于这个问题的精确解是　

不可能得出的，得出的只能是近似解。他不相信高斯的成果，把高斯赶出了　


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家门。　

　　　　　事实上，高斯的答案是正确的，他不仅解决了正17边形的尺规作图，而　

且对这类作图问题的可能性作了一揽子回答。他的结论是：“一个正n边形　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　m　

能用尺规作出，仅仅在n可表示为如下形式时才是可能：n=2·pp…p；其　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12　　n　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2k　

中　p，p，…，p为各不相同之素数，且具有2＋1形式。”特别是，当　n　

　　　　　1　　2　　　　　　　　n　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2k　

为素数时，n具有2＋1形式即为尺、规作正n边形的充分条件。根据这个　

结论，人们就可以毫不费力地断定，哪些正多边形是可用尺规作出的，哪些　

则不可用尺规作出。比如，正17边形虽然能用尺规作出，但边数比它少的正　

7、9、11、13边形却不能。这样，困扰