中外科学家发明家丛书:伽罗瓦_2-第4部分
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动科学发展就成了时代的需要。对此，伽罗瓦曾说：“在数学中，正如在任
何其他科学中一样，有一些需要在这一时代求得解决的问题。这是一些吸引
… Page 13…
先进思想家思想而不以他们个人的意志和意识为转移的迫切问题。”
伽罗瓦以他的著作，开始了数学科学新的繁荣时期。群的概念的建立，
使数学们家摆脱了研究大量的、各式各样的理论的繁重负担。伽罗瓦曾指出：
“我在这里进行分析之分析”，这种想法表明了他竭力想使这些新的、像辞
汇表那样具有实用意义的方法得到运用。所以说群论首先是数学语言的整
理。
有些人谴责伽罗瓦参与政治活动，说他过分年轻，行为过激而招致杀身
之祸。他们认为科学家的工作是超时间和超空间的，科学家应该在某种抽象
的世界中生活，进行创造。这种观念使他们不能认清伽罗瓦在科学上所作的
贡献的价值。与这种偏见不同，伽罗瓦反对科学家的天生孤独性。他相信：
“科学家生来并不比其他人更要过孤独的生活；他们也是属于特定时代的
人，而且迟早要协同合作。到了那时候，将有多少时间腾出来用于科学呀！”
正因为伽罗瓦把科学理想与社会理想结合起来，并为实现它们而奋斗，
所以他成了一位杰出的数学家和勇敢的革命者。可以说，伽罗瓦短暂的一生
是伟大的。
三、伽罗瓦与群论
群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了，而其理论的应用、
发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的
内容，建立起群论学并加以完善，从而改变了19世纪初叶，数学科学发展的
停滞状况，开创了新的繁荣时期。所以说，伽罗瓦对科学的重大贡献就在于
他对群论的贡献。因此，要了解伽罗瓦，就必须了解群论。
1．群的重要
解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依他的次数来分
类。
一次方程式ax＋b＝0的解答很容易得出，是
x＝…b／a
二次方程式
2
ax＋bx＋c＝0的解是
x＝（… b± b2 …4ac ）／2a
但是，三次方程式
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0
和四次方程式
4 3 2
ax＋ bx＋cx＋ dx＋e＝ 0
的解法就比解一次、二次方程式难得多了，直到16世纪才有了解法。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会
解高于四次的方程式，却都相信一定是能办到的。直到19世纪，利用群论的
道理，才证明了这是不可能的事。因为一个问题能否解决要看对于解答所加
的限制条件而定。譬如
x＋5＝3
如果允许x为负数的话，此方程可解；若限定x不能是负数，则此方程
式就不能解了。同样，假如x表示饼数，方程式
… Page 14…
2x＋3＝10
1
是可解的。但倘若x表示人数、这个方程式就不能解了，因为 x ＝3 （人）
2
没有意义。
再如，一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对
它进行分解。如
2
x＋1
在实数域中是不可分解的，可是在复数域却是可分的，因为
2
x＋1=（x＋i）（x…i），
其中i＝
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例如：
在 （a）中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。
在 （b）中，主元素是1，因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。
在 （c）中，主元素是那个将x代作x，x代作x，x代作x的置换，
1 1 2 2 3 3
因为任何置换和自身结合的结果是不变的。
在（d）中，主元素是那个360°的旋转，因为系统中的任意一个旋转和
此旋转结合的结果仍为自身。
（3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运
算结合的结果是主元素。
例如：
在 （a）中，3的逆元素是…3，因为3加…3的和是0。
在 （b）中，a／b的逆元素是b／a，因为a／b和b／a相乘的积是1。
在（C）中，将x代作x，x代作x，x代作x的置换的逆元素是将x
1 2 2 3 3 1 2
代作x，x代作x，x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将
1 3 2 1 3
x代作x，x代作x，x代作x的置换。
2 2 3 3 1 1
在 （d）中，60°的旋转（按顺时针方向）的逆元素是一个…60°的旋转
（按逆时针方向）。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。
（4）结合律必须成立。
例如，设a，b，c是任意三个元素，又设运算用记号O表示，则结合律
指
（aOb）Oc＝aO（bOc）
应用到系统 （a）中，为
（3＋4）＋ 5＝3＋（4＋ 5）
所以结合律在 （a）中能成立。
对于一个系统，它是否成群，不但要看它的元素，还要看它的运算才能
决定。
3．群的重要性质
伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。
在表示置换时，为了方便起见而采取一种简单的记法，即在记x，x，
1 2
x时可将x省去，只用1，2，3来表示。例如一个将x代作x，x代作x，
3 1 2 2 3
x代作x的置换，可以简单的记作（ 1 2 3）
3 1
这个记号的意思是说：
1变作2，2变作3，3变作1。
换句话说，就是
x变作x，x变作x，x变作x。
1 2 2 3 3 1
同样，（1 3 2）则表示一个将x变作x，x变作x，x变作x的置换。
1 3 3 2 2 1
又如
（1 3）（2）或（1 3）
表示一个将x代作x，x代作x，x代作x的置换。
1 3 3 1 2 2
有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前
面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于
加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合：
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（1）两个偶数的和还是偶数。
（2）0是主元素。
（3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正
偶数。
（4）结合律成立。
所以，偶数群是整数群的约群。
伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。
在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原
来的群中任何元素的变形，＇例如设有一个元素 （1 2），用另一个元素（1 2
3）去右乘它，再用（1 2 3）的逆元素（1 3 2）去左乘它，所得的结果是
（1 3 2）（1 2）（1 2 3）＝（2 3），
这个结果 （2 ）就称为3 （1 ）应用2 （1 2 3）的变形。＇若仍是约群
中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原
来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变
真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变
真的约群，……若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个
数去除，……所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质
数，则G是一个“可解数”。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素 （主元素例外）的乘幂。
如在群
1，（1 2），（31 3） 2
2
中，（1 2 3）＝（1 2）（13 2） 3
＝（1 3） 2
3
（1 2）=（31 2） （31 2）（13 2）=13
此群中的元素都是（1 2）的乘幂。这种群，称为3 “巡回群”。
在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成
其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群
1，（1 2），（31），
在 1中 x，变成x，在（1 2）中x3变成x，在（1 ）中32x
1 1 1 2 1
变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。
3
4．一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0，
假定它的三个根x，x，x是相异的。任意取一个这三个根的函数，如
1 2 3
xx＋x
12 3
在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。（1 2）一
类的置换为 xx＋x；（ 1 ）为3 xx＋x；（ 12）为3xx＋x。此
21 3 32 1 23 1
外，还有不动置换。也就是说共有：
1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2）（13 3）六个置换，2
即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！
表示n（n－1（n－2）……1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出
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结论，在函数v=mx＋mx=mx＋……mnxn中，当x作各种可能的置换时，
1 11 22 33
这函数就有n！个不同的值，用v，v，v，……vn！表示这些不同的值，
1 2 3
可作出式子P（y）=（Y…v）（Y…v）……（Y－vn！），其中Y是一个变数。
1 2
将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一
数域中分解因数，包含v而在此数域中为不可约的部分是（Y－v）（Y－ v）
1 1 2
或 Y－（v＋v）Y＋vv在这部分中所含的v仅有vv。则将v，v互相
2 1 2 12 12 1 2
交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。
一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v的不可约
1
部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽
罗瓦分解式”。
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，
可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。
明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式
X＋3X＋1= 0
2
有两个根x，x，可能的置换只有1和 （1 ）两种。所以2 它的群或者
1 2
含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。
以函数x－x为例，二次方程式
1 2
2
x＋bx＋c＝ 0
的两根之差是
x … x ＝ b2 … 4c
1 2
在此例中，规定b＝3，c＝1，则
x －x ＝ 5
1 2
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以
群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（ 1 ）置换。则此方程式在2
有理数域中的群是由
1，（ 1 ）2
两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所
以群中一切置换都不改变函数x…x的值，所以（1 ）不能在群中。此方2
1 2
程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。
5．伽罗瓦的鉴定
伽罗瓦证明了：一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可
解群”，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这样的条件下方程式才能
用根式解。
以一般�
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