数学乐旅-第22部分
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是可行的。索普又自己到赌场里亲自实践，结果果然大赢特赢。
1962年他出版了《打败庄家（Beat the Dealer）》一书，向公众介绍了自己的算牌法。“算10法”比较难操作，需要极高的心智和注意力。好在群众的智慧是无穷的，算牌手们沿着索普指定的方向走下去，已经把算牌方法演进得越来越简单实用（索普本人在60年代后期就淡出了赌博界，带着他在赌场赢来的大笔资金，进入股票市场，运用他的数学知识，现在已成为超级巨富）。
我使用的是一种叫“高低法（High…Low）”的算牌法。在游戏过程中，我们把每一张出现的2，3，4，5，6都算＋1点，7，8，9算0点，10，J，Q，K，A算－1点，将各点相加，结果越大，就表示前面出现过的小牌越多，对玩家越有利。反过来，如果结果是个负数，就表示前面出过的大牌比小牌多，对庄家有利。
比如前面出现的牌是：
4，9，10，5，J，A，8，10，Q，2，6，K，J，7
那么点数就是4张小牌减7张大牌，是－3。当然，在游戏过程中，你不可能叫庄家把牌局暂停，让你从容加减。你必须在每张牌出来时，就在心里默算点数。比如在上面的例子里，从第一张牌出现开始，你就应该在心里默算出：
1，1，0，1，0，－1，0，－2，－3，－2，－1，－2，－3，－3
在实际运用中，还可以采取两张牌一计的技巧，因为庄家发牌时一般速度较快，这样可以方便地把很多同时出现的大牌和小牌抵消不计，提高了算牌速度，减少了可能的计算错误。比如在上面的例子里，如果两张牌一计，那就是：
1，1，－1，－2，－2，－2，－3
如果是一副牌，－3已经是很糟糕的点数了，这时应该下最小注，或者停止不玩。不过一般来说，现在的赌场都使用六到八副牌，那么在六副牌312张牌内，发出14张牌，还剩298张牌，平均每副牌的点数是（－3）×52/298＝－0。5，还算可以忍受。
显然，在每一盒牌（“盒（shoe）”是指一盒牌从开始发牌到洗牌的过程，这一盒牌里可能有六副、四副、八副或其他副数的牌）的开始，由于大部分牌还未发出，因此平均点数总是在0左右。要到牌盒里剩下的牌不多时，平均点数才可能比较显著地偏离0。所以算牌手在算牌时都会寻找合适的赌桌，一方面要找人少的桌子，因为人越少，你在单位时间内玩的次数越多，实际收益才会更逼近期望值；另一方面要找切牌少的发牌员，因为该切多少牌，赌场只有个大概的规定，具体执行还是要靠发牌员的觉悟，所以同一家赌场里，不同的发牌员切出的牌来常会差很多。
在点数变大时，该怎么提高赌注，每个算牌手都有自己的习惯和算度。贝尔实验室的J。L。Kelly推导出，在理论上，如果你占A的优势，本钱总数为R，那么最优赌注是B = A × R。
比如你有一万块钱的本钱，现在你占1％的优势，那么就应该在这把压下一百块钱。这种下注法称为Kelly法，是在理论上可以获得最大回报的方法。但在实践中，Kelly法过于冒险，只可视为下注时的上限。
斯坦福·王（Stanford Wong）在《二十一点的秘密（Blackjack Secrets）》里说，平均点数每高一点，可增加约0。5％的优势。他是二十一点算牌界里最有名的祖师爷级人物之一，甚至排在爱德华·索普之前，第一个进入了“二十一点名人堂（Blackjack Hall of Fame）”。我第一次看到他的名字时，还以为他是个华裔，后来在电视上看到他，才发现他是个白人老头。斯坦福·王其实是他的艺名：他毕业于斯坦福大学，再加上“王”这个很有气势的东方姓氏。他对中国文化好像很感兴趣，自己创办了一家出版社，就叫“Pi Yee”——念念看吧：什么？辟易？便宜？别数典忘祖了，人家这叫“牌艺出版社”！
按照他的说法，在0点时，庄家占0。5％的优势。到了1点，双方差不多扯平。平均点数升到2时，玩家就已经占0。5％的优势，可以提高赌注了。如果按照Kelly法，平均点数为7时，玩家占3％的优势，就得将自己全部本钱的3％投进去，显然太过冒险了。
在点数为0或负数时，玩家应当下最小赌注。当然，最好是干脆不玩，坐等点数变正。早期的那些算牌手就是这么做的，但现在的赌场里，从游弋在各桌间的桌面经理，到高悬在天花板上的监视器，都虎视耽耽地监视着每个赌徒的行为。如果总是点坏不压、点好猛压，还不如直接在脸上写五个大字：“我是算牌手”，说不定还暴露得晚些。
算牌本身并不难练，难的是和赌场的斗智斗勇。在《打败庄家》刚出版时，它轰动一时，很快成为畅销书，激励了无数赌徒涌向赌场，一试身手。赌场对此大为恐慌，有些赌场甚至关闭了二十一点赌桌。但是，很快他们就又恢复了镇定，因为他们发现，涌来的大批赌徒中，只有极少数人真正掌握了算牌法，其他大多数人只不过是一知半解、道听途说的萝卜。索普这本书为极少数人提供了打败庄家的方法，但对大多数人来说，实际效果却是个二十一点的广告，让他们自以为也能够在二十一点上赢钱。这是个赌场梦寐以求的广告，是他们自己无论花多少钱都做不来的广告。
在刚开始时，算牌还是个新鲜事物，没有这方面的法律规定，开赌场的又多是黑社会，一旦发现算牌手，一律当老千处理，痛打一顿后扔到臭水沟里。后来大家总算对算牌达成了共识：这是样技术活儿，是在遵守赌场规则的情况下，靠自己的聪明才智来赌博的一种方式；同时各大赌场也多被华尔街的金融巨头接管，开始西装领带的管理方式，摆开堂堂之阵来赚钱，于是算牌手总算不再有人身危险，但赌场既然是人家的私有财产，就有权把某些他们不欢迎的人拒之门外。因此，对一个算牌手来说，难的不是算牌，而是如何不被赌场发现。
同时，赌场也巧妙地改变了规则，比如用八副牌代替一副牌，牌发到一半时就重新洗牌，不准在一局牌的中间加入赌局等等，极大地增加了算牌的难度。他们逐渐稳住阵脚后，便大开二十一点赌桌，从此二十一点就取代了“蟹赌（Crap）”，成为赌场里最热门的游戏。但在算牌法已经发明了四十多年后的今天，我们在二十一点赌桌上见到的，仍然大多数是萝卜。
附录：四、数学人生观
我觉得，从数学的角度看，人生和赌博、投资一样，也是通过对各选项的概率预测，来最小化成本、最大化收益，只不过人生所追求的收益，不是金钱，而是心里的幸福满足感。
这满足感往往被轻易地用金钱来衡量，但金钱仍然只是手段，尤其在现代社会里，生存环境已大为改善，冻馁威胁少却，人们的生活目的便更多地是这些或潜或明意识里的满足感。因此，人生比赌场和投资都要复杂得多，很难清楚地计算得失，而会牵涉到很多心理因素，个中取舍往往藏在潜意识的最深处，连选择者也没有意识到。
比如风险，每个人对风险的承受能力是不一样的，有人小心谨慎，生怕吃亏，损失十块钱给他带来的伤痛，远大于获得一百块的快乐；有人则迷醉于赌博，侥幸获得十块钱的快感，会大于失去一百块的懊恼。假设有一件成败几率各半的事情，成功了获利十倍，失败了只剩十分之一的资产。从简单的金钱角度看，这件事的期望回报值是四倍多，计算机会向我们强烈推荐。但由于失败后的代价太大，心理成本极高，而成功后由于边际效应，增加十倍的金钱并不能增加十倍的心理满足感，所以真正会选择做这件事的，只有性嗜冒险、放手一博的人。
从数学的角度看人生，首先必须要理解概率。大概率事件并不必然发生，而是在足够多次重复后，该事件发生的比例趋于此概率。所以，如果上面所举的例子中，这件事可以重复做一千次，那大概所有理智的人都会选择它，因为重复次数越多，结果越可能趋向于期望值。
当然，人生的特殊之处，就在于时间不会倒转，事件无法重复，因此，我们的选择并不总符合概率分析。同理，我们根据概率分析做出的选择，也并不能保证最好的结果，只是达到好结果的可能性更大。在单次的事件中，概率隐藏在结果下面，表面上呈现出来的，往往是运气。
运气在人生里当然也极为重要，但正如孙子所曰：“多算胜少算”，有时候如果我们对环境多做点研究，就会发现很多所谓运气因素，本来也在可控制、可预测之列。就象二十一点算牌，本来大家都认为胜负完全随机，但算牌手知道，当剩余牌中大牌比小牌多时，玩家赢的几率增大。又如投资，虽然有“股票专家还不如猴子”的著名笑话，但理性的投资者在做决定前，总会想方设法了解到尽可能多的资料。
不过，要完全掌握所有信息、参透人生，只有上帝才能做到。现代社会里的信息量越来越大，每个节点间的信息互动也越来越频繁，很可能当我们试图掌握尽可能多的信息时，也会撞上一个“测不准原理”，无法同时精确地获得某些信息。因此，关于人生的精确解，我们恐怕永远也找不到，只能用近似解来对付。数学里有一个泰勒级数，可以模拟某点已知值附近的函数值：
f（x）= f（a）＋ f'（a）（x－a ＋ f^（a）（x－a）^2/2 ＋ ……f（n）（a）（x－a）^n/n！＋……
在这里，精确到不同的项，就是不同级的近似。类似的，人生的零级近似是直接取f（x） = f（a），相当于仿效别人的做法，以为这样便可以得到同样的回报。这个近似当然太粗糙，至少统计样本太小。
一级近似是看到自己和别人的差异，包括优势、劣势、环境、时机等等，然后对人生这个函数做个最粗略的走势求导（比如，钱少是劣势，教育是优势），再综合起来估计自己的回报，这时f（x） = f（a） ＋ f'（a）（x－a）。
二级、三级、乃至N级近似，就要求对人生函数有更多的了解，以求出其N阶导数。所谓“世事洞明皆学问，人情练达即文章”，世事越洞明，人情越练达，对人生的认识就越精确，做选择时的预测也就越准确。当然，这里的难度也相应地越来越大。
好在上帝也比赌场老板慷慨仁慈，在地球的旁边悬起一个太阳，驱动着地球上百谷成熟、万物生长，使我们的人生不象赌场那样是个零和游戏，而可以把手伸到人类圈子外的大自然，达到双赢。于是我们也不必苦苦追求高级近似，在日常生活中借鉴别人早总结出的各种近似认识应已足够，比如谚语、书籍、常识。只是在借鉴时，我们要弄清楚它们的近似等级。比如“人性本善”、“人性本恶”，都是零级近似；“善恶两分，黑白分明”，是一级近似；“善中有恶，恶中有善”，是二级近似； “善即是恶，恶即是善”是三级近似；再往后的“无善无恶，无无善无无恶”，在近似程度上就更高了，但恐怕已没有实用价值，纯属学术研究。
另外，别人的经验也有个运用范围的问题，不能把某点的函数值模拟到离它太远的地方去。我们听过太多互相矛盾的经验，比如“大树下面好乘凉”和“宁为鸡头，不为牛尾”，“先下手为强”和“后发制人”，等等。这不是古人精神分裂，而是它们各有其适用范围。至于什么时候该用哪条，则需要我们对环境做出较精确的分析。就象兵法说不可反背水陈，又说置之死地而后生，韩信能够灵活运用，遂战必胜、攻必克；赵括、马谡辈只会死记硬套，结果丧师陨命。
很多经验里还带有明显的道德褒贬，比如“识时务者为俊杰”和“宁为玉碎，不为瓦全”、“各人自扫门前雪”和“助人为乐”。人们对此往往或据义批利，或以利嘲义，其实从数学人生观的角度看，这些互相矛盾的道德的出现，也完全正常，因为道德不过是人们在社会博弈中，为了打破“囚徒困境”而逐渐形成的一套近似解。同样的方程，在不同的边界条件下会得出不同的解，那么在不同的社会环境下，自然也该有不同的道德。
“囚徒困境”是博弈论里的一个经典问题，简单地说，就是两个同案犯被分开审讯，假如一人招供（背叛），而另一人不招（合作），则前者被释放，后者被判十年；假如两人都招，将都被判五年；假如两人都不招，将都被判半年。显然，无论另一个囚徒如何动作，对这一个囚徒来说，更有利的选择都是背叛。于是两个人都选择了对自己最有利的背叛，结果都被判五年，而错过了他们其实能达到的更好结果：都合作以被判半年。
这里的道德意味显而易见：每个人都作出对自己最有利的选择，却不如各自让步后的结果。老子说：天地不仁，以万物为刍狗，我们所有人都是上帝设下的这个巨大监狱里的囚徒，因此“囚徒困境” 的例子在现实生活里也比比皆是，从排队、随地吐痰，到诚信、公德，举不烦举。
由此可见，道德本是一样有用的东西，可以让人们更理性地认识世界，舍小利以获大益。它的目的，是帮助囚徒们获得相对最好的结果，而不是在囚徒身上再加一层枷锁。孔子抱怨说：“吾未见好德如好色者也”，孟子开篇就说：“王何必曰利？亦有仁义而已矣。”——可这不是我们的错，是他们自己把仁义道德给定义成和利、色相反的东西，活该怅然看着“天下熙熙，皆为利来，天下攘攘，皆为利往”。
一旦环境改变，社会博弈的各种条件变了，团体的最佳选择当然也应该跟着变。但由于人们有意无意地给道德加上了许多神圣光环，使它的很多部分都已僵化，便象佛教八寒地狱里人身上冻出的大红莲花泡一样，身受者痛苦不堪，大泡里满是臭污，外人还觉得这大泡气势磅礴、美不胜收。僵化的原因，无非一是时过境迁，人们还死抱着过去的教条不放，比如宗族观念；二是统�
