大宋之天子门生-第2部分
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和是37能得到的积：；。。。
。。。。。。
因为庞说：“既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一个数的，那就是和17积52。那么X和Y分别是4和13。
解题思路2：
说话依次编号为S1，P1，S2。
设这两个数为x，y，和为s，积为p。
由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s＜＝41，因为如果s＞41，那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点，参考老马的证明，这一点很巧妙，可以省不少事情）。所以和s为｛11，17，23，27，29，35，37，41｝之一，设这个集合为A。
1）。假设和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果P拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合A中，所以P可以说出P1，但是这时候S能不能说出S2呢？我们来看，如果P拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，P同样可以说P1，因为至少有两种情况P都可以说出P1，所以A就无法断言S2，所以和不是11。
2）。假设和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明显，由于P拿到4×13可以断言P1，而其他情况，P都无法断言P1，所以和是17。
3）。假设和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组，如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1，所以和不是23。
4）。假设和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1，所以和不是27。
5）。假设和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1，所以和不是29。
6）。假设和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1，所以和不是35。
7）。假设和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1，所以和不是37。
8）。假设和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以断言P1，所以和不是41。
综上所述：这两个数是4和13。
解题思路3：
孙庞猜数的手算推理解法
1）按照庞的第一句话的后半部分，我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54。
因为如果和54恰好是53和a，那么孙知道的积M就是M=53*a，于是孙知道，这原来两个数中至少有
一个含有53这个因子，因为53是个素数。可是小于100，又有53这个因子的，只能是
53本身，所以孙就可以只凭这个积53*a推断出这两个数术53和a。所以如果庞知道的
S大于54的话，他就不敢排除两个数是53和a这种可能，也就不敢贸然说“但是我肯定
你也不知道这两个数是什么”这种话。
如果53＋99
如果S=98＋99，那么庞可以立刻判断出，这两个数只能是98和99，而且M只能是98*99，
孙也可以知道这两个术，所以显然不可能。
2）按照庞的第一句话的后半部分，我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示为两个素数的和。
否则的话，如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数，那么孙知道积M后，就可以得到唯一的素因子分解，判断出结果。于是庞还是不敢说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话。
根据哥德巴赫猜想，任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和，对54以下的偶数，猜想肯定被验证过，所以S一定不能是偶数。
另外型为S=2＋p的奇数，其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉。
还有S=51也要排除掉，因为51=17＋2*17。如果鬼谷子选的是（17；2*17），那么孙知道
的将是M=2*17*17，他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是（17；2*17）。（为什么51要单独拿出来，要看下面的推理）
3）于是我们得到S必须在以下数中：
11172327293537414753
另外一方面，只要庞的S在上面这些数中，他就可以说“但是我肯定你也不知道这两个
数是什么”，因为这些数无论怎么拆成两数和，都至少有一个数是合数（必是一偶一
奇，如果偶的那个大于2，它就是合数，如果偶的那个等于2，我们上面的步骤已经保
证奇的那个是合数），也就是S只能拆成
a）S=2＋a*b或b）S=a＋2^n*b
这两个样子，其中a和b都是奇数，n》=1。
那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些
数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然）
a）或者孙的M=2*a*b，孙就会在（2*a；b）和（2；a*b）至少两组数里拿不定主意（a和
b都是奇数，所以这两组数一定不同）；
b）或者M=2^n*a*b，
如果n》1，那么孙就会在（2^（n1）*a；2*b）和（2^n*a；b）至少两组数里拿不定主意；
如果n=1，而且a不等于b，那么孙就会在（2*a；b）和（2b；a）至少两组数里拿不定主
意；
如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a＋2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要
讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9＋18，那么孙拿到的M=9*18，他就会在
（9，18）和（27；6）至少两组数里拿不定主意。
（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否
过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦）
现在我们知道，当且仅当庞得到的和数S在
C=｛11；17；23；27；29；35；37；41；47；53｝
中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数
是什么”这句话
孙膑可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。
4）孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他
还是会在多个猜想之间拿不定主意。
庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。
5）庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了
关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4）里的
条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得孙膑推断出那两个数来。
于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n＋p的S，其中n》1，p为素数。
因为如果S=2^n1＋p1=2^n2＋p2，无论是（2^n1；p1）还是（2^n2；p2）这两种情况，孙膑都
可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，
只有（2^n；p）这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是孙膑就可以宣布自己知道
了是怎么回事，可庞涓却还得为（2^n1；p1）还是（2^n2；p2）这两种情况犯愁。
因为11=4＋7=8＋3，23=4＋19=16＋7，27=4＋23=16＋11，35=4＋31=16＋19，37=8＋29=32＋5，
47=4＋43=16＋31。于是S的可能值只能在
17294153
中。让我们继续缩小这个表。
29不可能，因为29=2＋27=4＋25。无论是（2；27）和（4；25），孙膑都可以正确判断出来：
a）如果是（2；27），M=2*27=2*3*3*3，那么孙可以猜的组合是（2；27）（3；18）（6；9），
后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是（2；27）。
b）如果是（4；25），M=4*25=2*2*5*5，那么孙可以猜的组合是（2；50）（4；25）（5；20）
（10；10）。只有（4；25）的S才在C中。
可是庞涓却要为孙膑的M到底是2*27还是4*25苦恼。
41不可能，因为41=4＋37=10＋31。后面推理略。
53不可能，因为53=6＋47=16＋37。后面推理略。
研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
（2；15）：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6＋5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4）
的条件不能满足，孙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。
（3；14）：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2＋21=23也在C中。后面推理略。
（4；13）：那么M=4*13=2*2*13。那么孙可以猜的组合是（2；26）（4；13），只有（4；13）
的和在C中，所以这种情况孙膑可以说4）中的话。
（5；12）：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3＋20=23也在C中。后面推理略。
（6；11）：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2＋33=35也在C中。后面推理略。
（7；10）：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2＋35=37也在C中。后面推理略。
（8；9）：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3＋24=27也在C中。后面推理略。
于是在S=17时，只有（4；13）这种情况，孙膑才可以猜出那两数是什么，既然如此，庞涓就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。听了庞涓的话，于是我们也知道，这两数该是（4；13）。
作品相关 西夏和辽国的战争
更新时间：2008…9…2 18：45：01 本章字数：2543
庆历三年（公元1043年）春，由于连年征战，西夏国力已臻衰竭，元昊就乘机派出使臣上书宋朝商谈和议。宋仁宗密诏庞籍与元昊谈判，“元昊闻之大喜”。谈来谈去，关键问题仍然是元昊称帝的问题，宋朝坚持要元昊自削“僭号”。元昊恼怒，大言：“（我）如日方中，止可顺天西行，安可逆天东下。”经过拉锯谈判，元昊派使臣至延州上书，“自称‘男邦泥定国兀卒，上书父大宋皇帝’，更名曩霄而不称臣”。虽不称臣，元昊以儿子自居，总算给了宋朝一个台阶。
正当宋朝准备答应与西夏的和议，辽朝派来使臣，要宋朝不要与元昊讲和。两难境地下，宋朝的礼部郎中吴育发表意见，顿解愁结：
“契丹受恩，为日已久（指宋辽两国自澶渊以来一直关系友好）。不可纳一叛羌（西夏元昊），而失继世兄弟之欢。今二番自斗（夏辽关系吃紧），斗久不懈，可观形势，乘机立功。万一吾朝速纳元昊，为臣恐契丹窥兵赵魏（河北），致使辽宋战事又起。”
接着，吴育又出主意，宋朝可派使臣到西夏，告诉西夏要一如继往与辽朝和好，宋朝方许约和；同时，又派使臣去辽朝，告诉契丹人，宋朝已经命令元昊向辽朝道歉，在此前提下，才接受西夏的求和，否则，当再兴兵征讨。
宋廷依计施行。果然，此举中规中矩，西夏、辽朝皆无借口向宋朝发威，宋朝总算在外交上取得一次成功。
辽朝方面，早在1031年辽兴宗即位之初就把辽朝的兴平公主（辽兴宗姐姐）许配给元昊，但夫妻二人关系一直不睦，完全是政治婚姻带来的冷淡与疏隔。后来，兴平公主病重，元昊仍旧搂着别的美女狂欢，对公主不闻不问。直到公主病死，元昊才向辽国“汇报”此事。辽兴宗闻讯大怒，当时就派人持诏“切责”元昊。元昊由于正忙乎攻宋，也低头装孙子，献贡献宝讨好辽兴宗。后来，辽朝从宋朝又讹诈每年多二十万“岁币”后，很是站在宋朝方面说话，劝阻元昊不要伐宋。元昊恼怒至极。再往后，夏辽两国因边境地区的党项部落归属问题发生争执，最后发展到元昊劝诱辽国的党项人叛逃，辽国派使臣令元昊归还，元昊不从，双方翻脸。
既然与辽国闹僵，自然要加快与宋朝的和议。公元1043年夏天，宋仁宗派使臣到夏州，答应册封元昊为夏国主，“岁赐绢十万匹，茶三万斤”，虽然说是“赐”，文字游戏而已，实则是花钱买平安。大臣蔡襄上言，“元昊自称兀卒，有时又自译为‘吾祖’，以此陵侮朝廷，万万不可许和。”宋仁宗厌战，不听。并下诏召韩琦、范仲淹还朝为官。大臣富弼上言劝宋仁宗应留韩、范之中的一人守边，但当时执政晏殊等人“厌兵”，答应了元昊的一切要求。
转年，公元1044年五月，辽朝内党项族叛乱，辽朝派军前去镇压，元昊派兵救援，竟把辽朝的招讨使也杀掉。大怒之下，辽圣宗在国内征调人马，准备亲征讨战西夏。在此情况下，西夏更急于与宋朝讲和。最后，在元昊的加码要求下，宋朝把“岁赐”提至“银、绮、绡、茶二十五万五千”，西夏答应奉宋朝为正朔，并在高平寨与保安军设立榷场。其实，宋朝使臣前往，西夏只是在宥州“接待”他们，从来未到过兴州（银川），“元昊帝其国中自若也”，他爹李德明还会在宋使来时把“皇宫”内的匾额暂时撤下来一会儿，元昊索性连这道手续也免了，根本不让宋使入“首都”。
宋夏议成。当年十月，辽夏二国开始大打出手。
辽兴宗本人怒气冲冲，连出三路大军，共十万精兵，渡过黄河，直朝西夏境内杀来。大军一直前进四百里，未遇任何抵抗。最终，辽军在贺兰山北麓发现元昊部队，辽军纵兵进击，把夏军杀得大败。元昊与宋军打惯了胜仗，初遇和自己实力差不多的辽军，自然压力倍增，尤其是当他看到辽朝源源不断的增援士兵，心中大惧。于是，元昊又使缓兵计，派使臣向辽兴宗谢罪请降。辽兴宗想见好就收，其臣下韩国王萧惠等人不答应，劝辽圣宗，一鼓作气，扫平元昊，以免日后他再生祸患。
思来想去，辽兴宗点头。于是，辽朝的韩国王萧惠为前锋，又朝元昊西夏军杀去。元昊见势不妙，边撤退，边坚壁清野，烧掉一路上凡有的粮草和居所，连撤一百里之遥。这种焦土政策管用，辽朝十万大军本来要以战养战，这样一来，后勤顿失保障，人粮马料皆成大问题。特别是辽朝战马，因缺草料，病亡大半。元昊又恰如其分地派人“请降”。
辽国君臣正在大营计议，元昊忽然发起猛攻，直袭萧惠大营。萧惠不孬，忙整军出战，把元昊又打得败退。辽军正待追击，忽然天起大风，吹扑向辽军。古人迷信，契丹人更是信神信鬼，大风一吹，兵将皆心惊肉跳，一时军中大乱。元昊已经习惯了自己地盘上这种风沙乍起的天气，立刻命
