天才设题,智者解题-第2部分

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第一章　设题与解答平方和立方（题）

　　　　“请原谅，”稻草人回过头来，“我的大脑有些糊涂了，最近我被水给淋湿了。我问你一个问题你不介意吧，你名字后面的“T。E。”两个字母表示什么意思？”　　　　
　　　　“这两个字母表示我的学位，”橡皮虫回答道，带着谦逊的微笑。“更清楚点说，这两个大写字母表示我是个受过高等教育的人。”　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——《绿野仙踪》　　　　
　　　　多萝茜和奥兹博士沿着米尔克福德湖岸边走着，这是堪萨斯洲最大的湖之一。奥兹博士跳进湖里打湿他橡胶似的有弹力的皮肤。当他再上岸时，他看上去精神多了，也欢快多了。　　　　
　　　　“多萝茜，我前面的问题是关于平方和立方数字的，你看上去很感兴趣。我又有一个问题也是关于这些数字的。”　　　　
　　　　多萝茜把一块石头朝湖里扔去，说道：“请便吧！”　　　　
　　　　“找出三个不同整数，它们的平方和等于一个数的立方，并且它们的立方和等于一个数的平方。”　　　　
　　　　多萝茜盯着湖水，她开始试图找出这三个数字。她试了试，比如，1、2、3。它们的平方和是12＋22＋32=14。但可惜的是，14不是一个数的立方，所以1、2、3不符合奥兹博士提出的第一个条件，它们的平方和不等于一个数的立方。这个问题看来对多萝茜有点难度。有什么解决办法吗？　　　　
　　　　　难度系数：！！　　　　
　　　　


第一章　设题与解答平方和立方（答）

　　　　可恶的奥兹博士让我们找出3个整数，x，y，z：　　　　
　　　　1）x　²；＋y　²；＋z　²；＝N³；　　　　
　　　　2）x³；＋y³；＋z³；＝M　²；　　　　
　　　　要解答此题，先要简化这两个方程式，以便减少变量。比如。我们可以用　　　（－a，0，a）来试着解题。这3个数字满足方程式2，由此可以得到，－a³；＋a³；＝M²；，M＝0。关于整数a的数值，我们很快就会发现一组数字可以满足方程式1，即，－2²；＋0²；＋2²；＝2³；。由此可知，z＝－2，y＝0，z＝2。这道题是否有无穷多个答案？如何利用计算机图表来最清晰地显示出解空间？）　　　　
　　　　a1k＋a2k＋……＋amk＝b1k＋b2k＋……＋bnk　　　　
　　　　其中，a1≥a2≥……≥am　；b1≥b2≥……≥bnk　；　a1＞1；m≤n　。　　　　
　　　　这个方程式曾经让我着迷了很长时间。方程式中的k、m、m以及ai、bj两项都是正整数。你有没有想过，a16＋a26＋a36＝b16＋b26＋b36有解吗？有志于在这个领域做出新发现的读者肯定会对“欧拉网络”项目感兴趣，这是一个大型网络研究项目，分门别类地记录了此类方程式的所有已知最小答案。比如，项目组成员努蒂·库萨在2001年发现：　　　　
　　　　13077＋8577＋6187＋4007＝11847＋11337＋10307＋4237　　　　
　　　　这几个数字的总和为6；890；807；721；574；272；667；868。要了解更多进展，请参见让－查尔斯·梅里纳克所著的《计算最小的相等同次幂之和》，euler。free。fr/index。htm。为了寻找新的答案，已经进行了数千小时的计算机运算。　　　　
　　　　下面再让我们来想一想，大多数正整数都可以用3个平方之和来表示。比如，9＋9＋9＝27，16＋1＋1＝18。你能找出一个无法用三个或两个平方之和来表示的正整数吗？比如，哪些数字至少要分解为4个平方之和？早在1770年，法国数学家约瑟夫－路易·拉格朗日就证明，每一个正整数要么是其自身的平方，要么是两个、三个或四个平方之和。这方面的详细资料，可以参见伊文思·彼得森所著的《神奇的平方》，载于《科学新闻》，第159卷第24期（2001年6月16日出版），第382至383页。　　　　
　　　　澳大利亚维多利亚州的朗·斯塔伯斯日前向我发出挑战，让我找出可以解开下面这个方程的正整数：　　　　
　　　　An＋B2=C2　　　　
　　　　答案有两个：76＋84002＝84072，67＋233252＝233312。你能再找出几组答案吗？你的答案是否小于我给出的答案？　　　　
　　　　


第一章　设题与解答U　结构（题）

　　　　他的父亲宣称　“　只有科学家才真正懂得音乐　”　，但也不仅仅是科学家，噢，不是，事实上，仅仅是理论家，他的语言是数学。　她不明白数学直到他给她解释那是具有相互联系的象征性语言。“而且，那些联系”，他告诉她，“包含着生活的本质意义。”　——泊尔·　S。　巴克，《女神驻足》　　　　多萝茜正在使劲地嚼着几块托托　's　的有营养的狗饼干，因为奥兹博士不给她主够的人吃的食物，除非她解决了台阶里的难题（图　13。1　）　“多萝茜，把你的食品放下，”奥兹博士说，“这个有关台阶和悬崖的难度很大的排列被称为　U　结构　，它是以担轮幼虫　U　的名字命名的，　它能够在一个小时内解决这个问题。如果你正确地按照我给你的指令做，我会给你非常好吃的细牛排，要不就是寿司，随你怎么选择。你必须尽可能地踩在　U　结构的木板上，但不能在同一块木板上踩两次。你可以在高度相邻的两个木板之间上下踩（只要你来回踩的这两个台阶位于同一边线上）或者在同一水平线上的相邻的木板之间踩。我不许你走对角线。”　多萝茜放下饼干，点了点头。“好的，我会在我能走的台阶上走的。不过，我必须说，你是一个残忍的监工。”　“等等！还有两个特殊条件。你必须按照这个顺序捡起夹子、头盔和绳子！木板上有油，很滑溜。你要是走错一步，你就死定了。”　“噢，你这笨蛋！”　“记住，你必须按照我的规则尽可能地走最多的木板！”　难度系数：　！　！


第一章　设题与解答U　结构（答）

　　　　图　F13。1　画出了一条解题路线，只有　5　块木板没有被踩到。你能做得更好吗？　F13。1　u　结构的答案（布赖恩·曼斯菲尔德绘制）


第一章　设题与解答扔骨头（题）

　　　　“　你只有习惯了生活中所有的事情，它们才是平常的，”稻草人回答说。　“多么伟大的哲学啊！”橡皮虫充满敬佩地大声叫道。　“是的，我的脑子今天很好用，”稻草人用他那充满骄傲的声音承认了这一点。　——《奥兹仙境》　多萝茜、托托和奥兹博士在测试设备外面，他们沿着一条脏脏的道路走着。树木变得越来越多，很快，道路两边的树林就神秘地变黑了。多萝茜看见了清澈的溪流，奥兹博士同意让她停下来喝一口。　突然，一个陌生人走到她跟前以　R　为半径在地上划了一个圆，同时递给她一根瘦瘦的腿骨头。　“我想让你把一个长度为　R　的骨头扔到圆圈里，”这个两面讨好的人说道，“骨头的一端是圆的边缘，但骨头的方向是完全任意的。”　“我不干这种恶心的事情！”　多萝茜回答说。　“好吧，”陌生人说，“试图保持平静。你可以用一个棍棒代替。”他把骨头递给托托，托托把骨头拿到一边开始啃起来。　多萝茜扔了一根棍棒，最后，棍棒的一端碰巧触到了圆圈的边缘。这样，棍棒的另一端也碰巧落在了圆圈里面。　“很好，”　奥兹博士说道，“这就是你的测验。大体上，当捆绑的一端在圆上时，另一端在圆里面的可能性是怎样的？如果细棍棒的长度是　2R　或　R/2　时答案又将有什么变化？如果你不能回答正确，陌生人会把你扔进圆圈，让你画地为牢。”　难度系数：　！　！　！


第一章　设题与解答扔骨头（答）

　　　　假设外星人使用的木棍或骨头的长度为　R　。为了让故事看起来更吓人，我们就权当它用的是骨头吧。圆心为　o　，骨头一端与圆的交点为　P　（见图　F14。1　）。在圆上取一点　Q　，使　PQ　＝　L　，角　OPQ　的角度为　a　。我们想知道骨头的另一端落在圆内的概率是多少。经过计算，概率为　2a/2　π　（如果用角的度数来表示的话，则为　2　a　/360）。你可能会问，这是怎么算出来的？设想，骨头的一端固定在圆上，　另一端可以旋转　360度或2π×弧度。在所有的旋转结果中，当弧度为　2a　时，骨头的另一端留在圆内。　F14。1　扔骨头难题的答案　接下来，要确定　a的数值。有了三角形　OPQ　，我们就可以利用余弦定律和图　F14。1中的变量来计算角a的角度：　R　2　=L　2　＋R　2　…2RLcos　（　a　）　在已知对角及另外两边长度的情况下，通常用余弦定律来计算三角形的一边的长度。在已知三角形三边长度的情况下，也可以利用余弦定律来计算三个角的大小。（你在下文就会看到如何绕开这个公式。）　在第一个问题里，骨头的长度与圆的半径相同，因此，　L　＝　R　，角　OPQ　为等边三角形，　OP=PQ=R　。利用余弦定律，我们可以计算出　cos　（　a　）＝　1/2　，　a　＝　π　/3。由此可见，概率时2π/3除以2π，结果为1/3。如果你扔出一根骨头，让其一端恰好落在外星人画的圆上且另一端落在圆内的机会为33％。多萝茜给这个外星人起了个名字，叫33％。　当然喽，要解开这道题，我们不一定非用余弦定律不可。假如你看出　OPQ　是个等边三角形，你就知道　a　＝　60　°　，或者，　a　＝π　/3×半径。　假如骨头的长度　L　＝　2R　，经过计算，　cos　（　a　）＝　1　，　a　＝　0　。由此可见，假如骨头是一根长度为　2R　的线段（　2R　为圆的直径），让骨头的一端刚好落在圆上，且另一端落在圆内的概率为　0　。假如骨头的长度为　R/2　，那么，　cos　（　a　）＝　1/4　，概率为（　1/4　）的反余弦除以　π，等于　0。4196。注意，较短的骨头的另一端落在圆内的概率要大于长度为R的骨头。　余弦定律十分神奇，可以应用于多种实际情况。在涉及到向量的众多物理问题中，都可以运用余弦定律，比如，计算掠射碰撞中代表不同物体的两个矢量之差（见图　F14。2）。　这里还有另一个实例，可以帮助我们理解余弦定律是如何有效地解决问题的。假设，多萝茜要从现在所站的地方到奥兹博士的测试机构去，她必须骑上自行车，先向正东骑行　10公里，再向东北方向（北偏东45　°　）骑行　5公里（如图F14。3所示）。外星人想研究一下，它们是否应该铺一条黄砖路，从多萝茜所在的地方直接通到奥兹博士的测试机构。这条路建成后，多萝茜可以少走多少路？　　F14。2　余弦定律适用于矢量：要解答这个问题，我们可以先画出多萝茜目前的行走路线。由于我们知道　a　，　b　两边的值，也知道这两边的夹角的度数，就可以利用余弦定律来计算黄砖路的长度：　c　2　＝　a　2　＋　b　2　－　2abcos　（θ）　＝（　10　㎞）　2　＋（　5　㎞）　2　－　2　（　10　㎞）（　5　㎞）　cos　（　135　）　＝　100km　2　＋　25km　2　－　100　（－　0。707　）　km　2　＝　125km　2　＋　70。71km　2　＝　195。71km　2　求　195。71　平方公里的平方根，我们就可以得到大致的答案，　c　＝　14　公里。由于原来的道路厂　15　公里，那么多萝茜走新路可以少走　1　公里。　F14。3　余弦定律的应用（图中文字：待建的新路）


第一章　设题与解答腿骨头碎片组成三角形（题）

　　　　智者解决难题，天才提供难题。　　　　
　　　　——阿尔伯特·爱因斯坦　　　　
　　　　多萝茜，托托和奥兹博士正费力地穿过沼泽地，突然他们看见了骨头人，这个他们早先（第八题）遇到过的灰白色的动物。　　　　
　　　　“你好，”他用那他那原始的说话器官说道。他小心地把他的尖爪字移到托托的胸前。　　　　
　　　　“放开他，骨头人！”　　　　
　　　　骨头人用毛巾搽了搽他用爪子从托托身上抓下的几根毛发，然后把它们放到嘴边，它笑起来，露出一口尖尖的牙齿。　　　　
　　　　“我又给你出了一道难题。跟我来。”他是惊人地白，惊人地光滑。他的头和肚子使他看起来就象他是用漂白的骨头雕刻出来似的。　　　　
　　　　他们走到干干的地面上来了，骨头人抓出一个他放在树后的一个腿骨头。“想象这个骨头有N条长腿，”他说，然后他把腿任意的三段。　　　　
　　　　“多萝茜，这三段放在一起能形成几个什么样的三角形？”　　　　
　　　　“这对她来说太难了点，”　奥兹博士说道。　　　　
　　　　多萝茜摸了摸屁股，说：“不，这不难。”　　　　
　　　　骨头人点点头。“下面是这个难题的第二部分，我给你一段刚刚折断的最长的一段。如果你是一个赌博者，那么在每一个折断的骨头中，最长的一段与最短的一段的最大比值是多少？你是如何知道的？”　　　　
　　　　难度：！！！　　　　
　　　　


第一章　设题与解答腿骨头碎片组成三角形（答）

　　　　两处断裂点必须分别位于中点的两侧，三段碎片才能组成一个三角形。如果你想不通这一点，可以画几张草图试试看。假如两个断裂点都位于中点的同一侧，那么在组成三角形时，两条短边就无法相接。在出现一个断裂点之后，另一个断裂点位于中点另一侧的机会是1/2。此外，我们还得考虑另一个条件。要形成一个三角形，每一段碎片的长度均不得超过骨头长度的一半。如果想不明白这个道理，可以再画几张草图。满足这第二个条件的概率也是1/2。要确定这道题目最终的概率，可以把上面两个概率相乘，结果为1/4。因此，骨头人用骨头碎片摆成三角形的机会是1/4。（有些读者可能会想到三角形不等式定理——三角形任意两边长度之和大于第三边。）　　　　
　　　　关于第二个问题，奥兹博士也给不出答案，欢迎读者来信告诉我们答案。罗伯特·斯特朗博士指出，最短碎片与最长碎片的长度之比的预期值没有有效答案，原因可以参见第8题的答案。这个比例并非有界函数。但是，可以用数学方法来表示最短者与最长者长度之比的预期值。　　　　
　　　　


第一章　设题与解答复数在哪儿？（题）

　　　　我们接近真理不是通过什么原理而是发自内心。　　　　
　　　　——布莱斯·帕斯卡，《沉思录》　（1670）　　　　
　　　　奥兹博士正在同托托一起玩耍，喂给它吃一种鱿鱼状的狗饼干。“多萝