天才设题,智者解题-第3部分

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　　　　——布莱斯·帕斯卡，《沉思录》　（1670）　　　　
　　　　奥兹博士正在同托托一起玩耍，喂给它吃一种鱿鱼状的狗饼干。“多萝茜，今天，我要你找到一万个连续的非质数。你找到它们以后，再告诉我你是如何找到的。”　　　　
　　　　多萝茜抓过托托，后退了几步，说“这个排列太大了。我难道不需要一台电脑来解决这个难题吗？”　　　　
　　　　“不需要电脑，只要你给我一个如何找到这一万个数字的简单的诀窍就可以了。还要我提醒你一个质数是不能被2或2以上的整数整除的数吗？例如，6是3的2倍，所以它不是质数。6是非质数，或者说是复数。再如，7不能被2或2以上的整数整除，所以7是质数。”　　　　
　　　　“奥兹博士，你今天可真罗嗦。”　　　　
　　　　他点点头。“这是从最小的质数开始排列的数字：2，3，5，5，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59等。注意这些前后两个质数之间的差。例如，在这靠前的一些质数之间的差分别是1，2，2，4，2，2，4，2，2，4，6，2，6，4，2，4，6，6，…希腊数学家欧几里得证明了存在一个无穷大的质数。但是，这些质数的出现是按照一种不规则的顺序出现的，并且没有一个公式能够概括他们。因此，巨大的质数的发现要求进行概括并测试上百万的数字。”　　　　
　　　　奥兹博士把一块狗饼干塞进他唾沫横飞的嘴巴。“用这个关于质数和非质数的例子，你的使命是找到一万个连续的非质数。你将怎么找到它们？”　　　　
　　　　难度系数：！！！　　　　　
　　　　


第一章　设题与解答复数在哪儿？（答）

　　　　多萝茜究竟应该怎样回答这个问题呢？靠铅笔和几张纸来找出10；000个连续的非质数，可真够难的！关于质数的分布情况，我们都知道些什么呢？　　　　
　　　　·　　寻找质数的方法之一是利用古老的厄拉多塞筛法。先列出一些正数，然后从4开始，删除其中所有的2的倍数。接下来，从6开始，删除其中所有的3的倍数。重复这一过程，直到将所有复数都删除掉。（将厄拉多塞筛法应用于计算机，是评估和比较计算机优劣的一种传统方法，因为这一过程十分漫长，而且计算量很大。）　　　　
　　　　·　　质数定理指出，小于n的质数的数目大致为n/（㏑n）。卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初最先提出了这条定理，后来，雅克·阿达玛和查尔斯·德·拉·瓦莱·普桑于1896年分别独立证明了这条定理。两人的论证都依靠复杂的分析，而且在当年，也没有人曾经想到过，可以用比较简单的方式来证明这条定理。1949年，艾特尔·塞尔贝格和保罗·埃尔多斯提出了质数定理的另一条证明，整个数学界为之震动。巧的是，从质数定理可以推导出另一条相关定理：在大于1的任何数字与其两倍数之间，必然存在至少一个质数。根据质数定理，可以知道小于n的质数之间的平均“差”为In（n）。＇以最小的几个质数为例：2，3，5，7，11，13，你会注意到，连续质数之差为：1，2，2，4，2。＇　　　　
　　　　·　　几百年来，数学家们一直试图找出质数的基础模式。或许，质数根本就不存在什么模式。有些质数成队出现，中间只相隔一个偶数，这些质数被称为孪生质数，比如：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）。数学界有个由来已久的猜想，认为孪生质数的数目是无穷多的。到目前为止，还没有人能够证明或反驳这个猜想。（注意，孪生质数之差为2，这是最小的质数之差。如果两个数的差为1，那么其中一个数必定是偶数，可以被2整除。）有朝一日，我们能不能借助一个方便的公式来找到所的质数，让公式来计算一下到底有多少个质数呢？　　　　
　　　　以上这些林林总总的资料能够帮助我们回答多萝茜的问题吗？或许可以，多萝茜要找到10；000个质数，还有一种比较简单的方法。　　　　
　　　　“简单”答案之一是10；000！＋210；001！＋3……10；001！＋10；001，其中！代表阶乘符号。（比如，5！=5×4×3×2×1）。当A＞1且A≤n时，由于n！＋A可以被A整除，该序列为非质数，即复数。让我们来举个例子。当n=5且A=3时，n！＋A=（5×4×3×2×1）＋3。这个数字的阶乘部分包含了1至n的全部因数，因此必然可以被3整除。其第二部分显然也可以被3整除。同样，如果A=4，计算结果120＋4也可以被4整除。　　　　
　　　　我们的“简单”答案应该可以让外星人满意了，但问题所问的并不是以10；000为最小值的一连串数字。要找出10；000个连续的最小复数，我也不知道有什么简单的方法。　　　　
　　　　既然说到了质数问题，我就忍不住要提到蝉。这种昆虫在地下呆上7年、13年或17年，然后化为成虫，破土而出，享受生命的最后几个星期。进化的力量是如何让蝉蛰居地下的年头成为质数的，已经成为当前的研究重点。近年来的数学模拟显示，质数时间可以让蝉避开掠食者。数论在帮助人们了解生物学的过程中竟然发挥了如此重要的作用，真是不可思议！关于这方面的详细论述，请参见A。M。S。，《生物模式中的质数》，《科学》第293卷第5528期（2001年7月13日出版），第177页。　　　　
　　　　


第一章　设题与解答古怪的瓦片（题）

　　　　人是一种有智慧的动物，器官为人服务，而人则充当器官的奴隶　——奥尔德斯·赫胥黎　奥兹博士和多萝茜在堪萨斯东南部的麋鹿城湖上划船。他指着水面说：“看啊，湖水鸡。”　“加拿大鹅，”多萝茜反驳说。她看见当外来运输装置的影子使天空暗下来时，一些鹅飞起来。而后，她更近地看着湖面。“我在这里钓鱼，”她说到，“在你来到我们这个世界之前。”　奥兹博士点点头说：“那些鹅都吃些什么啊？”　“它们是食草动物。他们像牛一样吃草。你在你的世界里应该有牛吧？”　“牛？”奥兹博士表情严肃地说。“你是指那些长着白耳朵的动物吗？”　“恐怕你的确是不了解地球。”　奥兹博士使劲地把他的触须扔到船上。“我要告诉你件事。我给你一个谜。”他转过身，展示出刻在他背上的一个瓦片的排列。“在空白的瓦片上添上遗失的正确的符号。”　难度系数：　！　！


第一章　设题与解答古怪的瓦片（答）

　　　　答案是：　填入这两个图形后，正方形中每一行与每一列便相等了。　下面还有一道题，请你在空白处填入正确的图形。


第一章　设题与解答坟墓难题（题）

　　　　一等智商的测验是对同时掌握两种对立的思路的能力的考查，以及仍然保持解决问题的能力。　——　F。　斯科特·菲茨杰拉德　“跟我来，”奥兹博士带着多萝茜和托托穿过一些黑暗的墓地时说道。“让我们搜索一下。”　多萝茜在两个连通的墓穴间的通道里打亮了一只手电：“这看起来像个洞穴。这真美。”墓穴的墙的表面是棕褐色的，由于硫酸钙晶体而闪闪发光。空气闻起来清洁而潮湿，就像刚用洗发水洗过的头发似的。　就像小霍比特人一样挤在一起的是方解石构成的更小的石笋。大一点的看起来就像一些巨大的史前生物的肋骨。　奥兹博士用手电筒照亮了它们的四周。“这真不可思议。”闪亮的蓝色硫酸钙吊灯，至少有　25　英尺长，悬挂在他们的头顶。外面是易碎的紫色“霰石丛”硬壳的墙壁里在他们的小路旁。走过一些台阶，他们进入了另一个世界。　奥兹博士停下来看了看多萝茜。“这是你下一个谜。我们在十个内部相连的墓穴里，分别为　A；B；C；D；E；F；G；H；I；J　。一个独立的小地道连接着墓穴　A　和　B　，另一个连接　B　和　C　，……，最后一个连接了　I　和　J　。每个墓穴的地面面积符合斐波纳契序列，从而墓穴　A　地面面积是一平方英里，墓穴　B　的地面面积是一平方英里，墓穴　C　的地面面积是两平方英里，依此直到墓穴　J　。　“假定我将带　100；000　分进入墓穴　A　，他们在墓穴中随机走动。很长一段时间后，你认为会在哪里找到最多的人？”　多萝茜向四周摆动着手电。“我能不能假设人们在墓穴里随机走动，而墓穴没有出口？”　“可以。在问题的第二部分，考虑我刚刚讲给你的同样的问题。但是，在这个第二部分，假设人们的行为是现实中人们的行为，他们的走动将不是随机的。在很长一段时间后，你认为会在哪里找到最多的人？在这第二个问题中，假设食物是‘甘露'形式的——我认为是一种像霜一样纯的片状物质——被等量分放在所有墓穴中，并且有持续供给。也同样的假设有持续供给的泉水形式的饮用水分布于所有墓穴中。进一步假设在每个墓穴的地下有　30　英尺的尘土，可以覆盖垃圾和尸体。人们将在里面呆上好几年。”　“呸！”多萝茜说道。　“尘土包含了常有的腐烂物质生成的有机物质。在很长一段时间后，你能在哪里找到最多的人呢？如果　（a）　每个墓穴有一个十字形分区　（b）　每个墓穴有一个正多边形分区，从而墓穴　A　有一个等边三角形形状的地面，　B　有一个正方形地面，　C　有一个五角形地面，等等，你的答案会有什么改变吗？”　难度系数：　！　！　！


第一章　设题与解答坟墓难题（答）

　　　　对于第一个问题，如果我们假设人们在墓穴中随意分布，就像空气中的粒子一样，那么每个墓室中的人数将同墓室的面积成正比。因此，呆在最大的墓室J中的人最多。　　　　
　　　　对于第二个问题，我们应该首先考虑人们的心理状态。比如，如果人们认为有逃生的机会，或者有可能被发现，那么大多数人都会留在他们最初进入的墓室A里，不会离开。此外，还要考虑其他一些因素。比如，不同墓室的声学特点会产生不同的回声，人们可能会希望留在最安静的墓室里。此外，我们还应该想一想，墓室的面积会对氧气的流动、湿度、人体气味的发散都会造成哪些影响，以及人们对冒险的看法和对独处的渴望。你希望留在哪一间墓室里？开动你的想象力，奥兹博士知道你一定能找到其他的正确答案。　　　　
　　　　对于第二个问题，罗兰·汤姆林森曾经说过：　　　　
　　　　“最强壮、最坚强的人会占有一间面积最小的墓室，因为作为一个小集团的成员，即最小墓室的占据者，具有某种‘声望’。比较脆弱的人会聚集在较大的墓室里。最大一间墓室的尽头显然是存放垃圾的场所，所以我猜测，上面提到的‘统治者’会指派几名属下把垃圾搬运到几英里以外的地方去。”　　　　
　　　　


第一章　设题与解答普莱克斯先生的瓦片（题）

　　　　眼睛只会看到脑子里打算了解的东西。　——亨利·　L。　伯格森　普莱克斯先生和他的的克隆生物们正在和一些外星蛇玩耍。“多萝茜，你想抱一条蛇吗？”　“噢，不了，谢谢。它们看起来很危险。”　“其实不是这样。奥兹博士让我盖了一间玻璃墙壁的屋子，这样你可以看见我所有的的克隆生物和蛇。把这个想成一组瓦片。”　普莱克斯先生着这一个显示屏，上面显示了蛇和的克隆生物们的俯瞰视角。　“你的任务是在空白的瓦片上添上三个遗失的正确的外星人。如果你能够在十分钟内解决这个问题，奥兹博士将永久克隆你的狗托托，这样你就可以有两个伙伴，而不是一个了。如果你不能解决这个问题，奥兹博士将向堪萨斯的大草原上放出成千条外星蛇。这样将造成的生态破坏是未可知的。”　难度系数：　！　！


第一章　设题与解答普莱克斯先生的瓦片（答）

　　　　答案是（），因为这样一来，每一行都有　4　条蛇和　2　个普莱克斯先生。你还能找出另一种答案吗？你做这道题用了多长时间？　下面又给你出了一道题，请在空格中填入正确的图案。


第一章　设题与解答射电枪打靶（题）

　　　　未来的帝国是智者的帝国。　——温斯顿·　丘吉尔奥兹博士和多萝茜在奥兹测试区的一个室内靶场。　“奥兹博士，谢谢你让我试了试你的射电枪。”　“不用谢。你只是不要把它对准我，也不要试图逃跑，否则，我的同事普莱克斯先生会非常生气，他会追捕你的。”　“为什么你们要这样？”　“别担心。我们一起拉一做这些数学题，我会释放放你的。现在，我要你对着墙上的绿靶子开枪。”　多萝茜把射电枪瞄准靶心开了一枪。她停了一会儿，又开了一枪。可惜，她开的第二枪比第一次更偏离靶心。　“多萝茜，你还可以再开一枪。在你开始之前，告诉我你最后一次射击与第一次射击相比更加偏离靶心的可能性是多少？假设你的技术水平是保持不变的。”　“奥兹博士，我怎么才能给你答案？我好象没有足够的信息呀。”　“你有足够的信息。这个问题的第二部分是假设你可以射击　1000　次。你最后一次射击与第一次射击相比更加偏离靶心的可能性是多少？你敢对这个赌一百美圆吗？要不，赌你的托托？如果靶是一个等边三角形的话，你的答案会有什么变化？如果你只是在玩一个游戏，这有什么关系呢？要是我改变你的射击，　你能作同样的回答吗？”　难度：　！　！


第一章　设题与解答射电枪打靶（答）

　　　　为了方便排版，我们把靶子画成了一个长方形。　射击结果分别用　J　（命中靶心）、　K　（勉强射中）和　L　（失误）来表示。靶子上有　6　横　6　纵共　36　个格子，其位置是连续区域，两次任意射击所击中的位置距靶心的距离不可能相等。多萝茜开了　3　枪，一枪命中靶心，一枪勉强射中，第三枪失误。这三枪可以产生以下　6　种不同结果。　射击结果　比如，可能是第一枪命中靶心，第二枪勉强射中，第三枪失误。上表第　1　列描述的就是这种情况。但情况也可能是这样的：第一枪命中靶心，第三枪勉强射中，第二枪失误，见上表第　2　列。　但是，有两条信息限制着可能出现的打靶结果。第一枪没有失误，因为文中写道：“糟糕，她的第二枪距离靶心比第一枪还远。”此外，我们还知道，多萝茜第二枪也没有命中靶心。这说明，我们可以将上