写给考生家长的书-第20部分
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求我们在复习中用实例去区分，用实例去鉴别，在实践中去体会，在应用中
去巩固。
2、灵活地掌握数学概念。
例：若两条直线k1∶y=k1x＋b1，L2∶y=k2x＋b2 的斜率k1，k2 都存在，则
此两条直线垂直的充要条件是
k = …
1
1 k
2
显然这个命题要求两直线的斜率存在，即直线倾角为90°时，此结论忌
用，但是做如下变化，就全面了。即：则L1∶A1x＋B1y＋L1=0，L2∶A2x＋B2y＋L2=0
则L1⊥L2 的充要条件是A1A2＋B1B2=0
特别要强调的是，在复习中，有必要进行变化数学概念的复习，从而掌
握实质性的东西。
3、加强直接运用数学概念解题的能力。
这要求考生对概念的适用性、规定性有所了解。
另外，在复习时，对数学概念的认识不能仅仅停留在它的外表，而应真
正深入到它的内部，去把握它的本质东西。
例：求以（1，2）为顶点，原点为焦点的抛物线方程。
如右图所示，此题若考虑用转轴和移轴来求抛物线方程是不能奏效的，
但若想到抛物线约定义：“平面内与一定点F 和一条定直线的距离相等的点
的轨迹叫抛物线”，就不难得出结论。
例： 年高考试题，如果× ≤
π
1989 1 1 求函数f（x） = Cosx＋Sinx的最小
4
值。
本题考生一般能化成f（x） = 的形式并写出答案：
5
4
Sinx …
1
2
？？（ ）2
当Sinx=…1 时，f（x）最小值为…1，其实这是错的，因为它没有考虑到题目的
条
件｜ ｜≤
π
x 。
4
由上面的例题可知，概念、定义在解题过程中起到判定作用。这里，笔
者想为大家介绍一个简捷的方法。在考试中常出现这样的题型：有两个式子
A、B，问两者是什么条件？通常，一般的考生是硬推去做，这样很费时间，
也容易出错。若是用定义域求解，即如果A 的定义域包含B 的定义域则为充
要条件，反之为必要条件：若A 与B 的定义域相同则为充要条件，若定义域
不同则什么也不是。读者感兴趣，不妨一试。
希望大家在实践中不断巩固和深化知识。
112．数学的基本功训练亟待加强
在数学复习中，许多考生身上都或多或少地存在这样的倾向：即注重解
题技巧的复习而轻视对基本功的训练。这种倾向造成严重的后果，据对1984
年到1989 年考分的抽样调查，因运算错误而造成的平均失分率为50％左右。
这就要求考生不能盲目地去攻高难度的题，而要练好基本功。其实，基
本功练好了，高难度的题就不在话下了。在练习中我们要注重抓这样几个环
节：
1、把握易忘、易混淆定理、公式和法则。
例：计算（sin50＋icos50）12
误解：原式= sin60 ＋ icos60 = ， 原因在于忘记了棣密佛定
3
＋
1
2
0 0 i
2
理只有在是复数三角式的情况下才能够用。
2、提高活用定理、公式、法则的能力。
例：求π 的最小值。误解：
∵ ≥ ∴ 的最小值为在这个解的过程中
f（x） =
2
sinx
f f（x） 2
？？？？？
×？？
sin
（ ）
（ ）
sin
sin
x
x
x
x
x
2
0
2
2
2
2
死套基本式，忽视了sinx 的范围为〔0，1〕，此时，不等式没有取得等号的
可能（答案为4）。
3、突破运算能力薄弱的环节。
例： 1989 年高考题， 已知a ＞ o 且α ≠1 试求使方程Loga（xak）
2=loga（x2…a2） 有解的K 的取值范围，考生列成混合组
（x ak） x a
x … ak 》 0
x a 0
（x ak） x a
x a 0
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
？？？？？
？？？
ì
í？？
？？？
？？？？？
？？？
ìí？？
？？
或
同样，由于计算能力不过关而半途而废。
例：1987 年高考题，对于所有x，不等式
x log （
4（a 1）
a
） 2xlog （
2a
a 1
） log
（a 1）
4a
2 0
2 2 2
2
2
？
？
？
？
？
？
恒成立，求α的取值范围。
在高考中，许多考生都归结为不等式组，
a
a 1
0
log
4（a 1）
a
0
（2log
2a
a 1
） 4log
4（a 1）
a
log
（a 1）
4a
0
2
2
2
2 2
？
？
？
？
？
？
？？？
？
ì
í
？？？
？
？？？
这个解题过程大繁，不是解不出来，就是中间某一步出现错误。其实，这个
题根本不需要这样解，只要对不等式变个形就会简单多了。
解：变形为：
即：
x
a
a
x
a
a
a
a
x x
a
a
2
2 2 2
2 2
2
8
1
2
2
1
2
2
1
2
0
3 1 1
1
2
0
＇log （ ）＇ log log
＇（ ） ＇ log
？
？
？
？
？
？
？？？？？
？
？
∵对于实数x 恒成立。
∴log → → → 所以的取值范围为
a 1
2a
0
a 1
a
1
a
a
0 0 a 1 a 2
？
？
？
？
？
？？？？？
（0、1），
因此，我们要重视基本功的训练，提高计算能力。
113．怎样才能提高自己的解题能力？
目前高考数学命题的指导思想是要既有利于选拔人材，又要有利于指导
中学教学。命题的原则是：考察基础知识，注重数学思想，培养实际能力，
这就要求在考前多培养解题能力。
1、要掌握数学方法，突出数学现实，优化数学模型。
例1：已知P＝｛（x； y）｝1（k 2 … 1） ＋ 2kx ＋ （k ＋1） 2 = 0，k ？R｝求P的图形。
由题中条件可知P 为直线（k2…1）y＋2kx＋（k…1）2＝0①上的点，若按R 取不
同的值来研究直线之外的点是不能奏效的，但要是把①视为k 的一元二次方
程，优化其数学模型，则求P的图形成为求①关于K无实根时X、y的范围。
解略。
例2：求证：对称轴互相垂直的二抛物线的四个交点共圆。
在处理曲线的交点时，基本方法是“设”和“解”。“设”而且“解”
最繁，“设而不解”或“解而不设”较简，“不设不解”最简，是繁是简取
决于数学模型，本题宜用其交点的曲线系方程f1＋=λf20 这个模型，可以不
设不解。
证明：抛物线y2±2px＋s=0①与抛物线
x2±2py＋t=0②的对称轴垂直。
①＋②得：
x2＋y2±2px±2py＋t=0 这正是圆的方程所以交点共圆。
2、培养发散性思维和逆向思维的能力。
例1：直线L 与抛物线y2=2px 和y2=2p（x…y）分别交于A1，B1 和A2、B2
（如下图），求证1A1A21=1B1B21，
要证明这个题，用发散性思维，至少有四种方案。
（1）用普通方程求交点、距离。
（2）用普通方程求中点，证与中点座标相同。
（3）用参数方程求交点，求距离。
（4）证明A1B1 与A2B2 的中点对应同一参数。
通过比较，第四种方案为映射观点，最为简捷。这样运用发散思维，就
可以缩短解题时间，能力也随之提高了。
作一番探索，就会发现：在特殊情况下，抛物线y2…2px 的弦AB 切抛物
线y2=2p（x…y）于点M，则1AMl＝1MB1。
在一般情况下，直接L 与抛物线和y2=2p（x…y1）和y2=2p（x…y2）分别交
于A1、B1 和A2、B2 则：A1A2｜=｜B1B2｜
这个结论如再推广可证出：
1 l
x
a
y
b
1
x
a
y
b
g A B
A B A A B B
2
2
2
2
2
2
2
2 1 1
2 2 1 2 1 2
（ ）直线与椭圆成双曲线和分别交于，
和， 则｜ ｜ ｜ ｜
±？？？±？？
？
（ ）直线与双曲线和它的渐近线分别交于，
及， 则｜ ｜ ｜ ｜
2 L
x
a
y
b
A B
A B A A B B
2
2
2
2 1 1
2 2 1 2 1 2
？？？？1
？
可见，多思考，是提高能力的有效途径。
114．复习与做题的关系怎么才能处理好呢？
数学复习离不开做题，但是不能互相代替。
复习包括知识和思想方法两个方面，既要做到拾遗而不漏，扫清障碍，
又要总结原理，形成系统；而做题的目的是要在应用中加深知识的理解，掌
握解题的方法，提高运用知识的能力，同时也是对复习情况的检查和评估。
在懂得了解题的目的之后，重要的是怎样去解题。在解题时，解题方法
是十分重要的。许多同学在复习中会感到，对某些题，教师一点就破，一讲
就懂，但不点就破不了。问题就在于把学的知识孤立对待，局限于某一个范
围内思考，而不会把知识“膨胀”（一题多想，一题多解）和“收缩”（三
角、代数、几何互相融合）。解题方法墨守常规，知识不能灵活运用，这都
是破不了题的因素。下面具体讲几种解题要注意的地方。
1、解题概念要清楚，对题中所给的条件要理解透彻。
例：设x1，x2 为方程4x2…4kx＋k=0 的二实根，当K 为何值时，x1
2＋x2
2 为
最小值并求其最小值。
解：∵
∴
∴ 当时取得
x x K x x K
x x x x x x k
y K
1 2 1 2
1
2
2
2
1 2
2
1 2
2
1
4
2
2
1
4
7
16
7
16
1
4
？？？？×？？？？
？？？？？？？？？？？？？
？？？？？
； （ ）
（ ） （ ）
； min ？
但是此结论却是错误的。只要追究一下4x2…4Kx＋K＋2=0 有实数根的条件
可知，K 的取值范围不是整个R，而是受原方程为实根的限制的。
即当△=（…4k）2…4？4（k＋2）≥时
∴得出的范围≤ 或≥ ； ＝ 不在范围内，故当＝ 时
＝ ；当＝ 时＝
K K …1 K 2 K …
1
4
K …1
y K 2 y 2
1
2
∴当K＝—1 时，
2、解题中要不受常规解题法的局限。
例：设a、b、c R 且a＋b＋c＝3，
1
a
1
b
1
c
？？？？？？？？？？3
求证：abc＝1
此题不按常规方法，由已知条件推导是十分复杂的，若按逻辑推理，转
化成证明不等式，从而得到证明，就简单多了。
证明：∵a、b、c∈R＋
而≥ 即≥
≥即即≤
只有
3 3 1 3
3
1 1 1
3
1
3
1
1
1
3 3
3
3
？？？？？
？？？？？
？
a b c abc abc
a b c abc cba
abc
即abc＝1
3、解题中要善于联想转化。
也就是说，把不熟悉的类型变成了熟悉的类型，通过联想，使题型由难
而易。
4、在复习中要注意系列相关题的训练。
系列题具有一定的梯度，知识覆盖面广，能溶人很多知识。相关题还具
有延伸性，能沟通知识的联系，是考察考生的创造性思维与应用能力的。这
些题目在历年高考试题中都是压阵题。同学们不要轻易放弃，思考得好，处
理得当是拿分题，即使突破一部分也是好的。
最后，要提醒同学们特别是一些数学思维能力较强的同学，在做题时一
定要写全解题步骤，跳步、省去该有的部分都会失分。某些考生的教训可谓
惨痛，答案一致，却因步骤不全失了很多分。希望大家千万注意，能拿的分
一定要拿到，拿不了的分，也不轻易失去。
115．用活教材的点点滴滴
考前如何对英语进行有条不紊的复习，在短时间内达到理想的效果，最
重要的是要以教材为中心，立足教材、活用教材，同学们可以从以下几个方
面着手。
1、查。首先对自己作一个全面的、实事求是的估计。从每个人的实际出
发，查自己知识的薄弱环节，查自己的哪些知识掌握的不过关，查漏洞，找
弱点，这样复习起来有针对性，有的放矢，重点突出。力量用在刀刃上，避
免平均使用力量。
理。在复习过程中，作一些整理工作，将分散在各册书中的知识进行归
纳、整理，使之科学化、系统化、条理化。例如在词汇方面可以以最常用的
十几个动词be，take，make，look，go，have，give，keep 等为中心进行归
纳；能归纳出几百条短语，教材中的大部分短语动词都包括在这十几个动词
中。这样，就能避免孤立地记单词，复习起来十分方便。
3、串。在归纳的基础上把所学的知识串起来，提一点，带一串。比如，
可以用up 这个饲串起许多不同的短语动词。如，getup，grow up，look up，
standup，setup，lift up，holdup，put up 等等。把中学所学的知识，通
过介词、副词，动词、句型等串起来，做到前后有联系，便于熟练掌握所学
知识。
4、比。比容易混淆的音、形、意，比英汉不同的表达习惯。对词的用法
也必须辨别清楚，通过比较，有些含糊不清的东西就会变得清晰可见。例如
take，bring，fetch，carry，hold，grasp 几个单词都有“拿”的意思，但
用法各异。对这些易混的单词认真进行比较、思索，有比较才有鉴别，鉴别
清楚才不容易出错。
5、练。英语不是教会的，而是练会的，只有通过大量的练，大量的实践，
才能由懂、会到熟能生巧。要多练并不等于多多益善，要练到实处，练到巧
处。要围绕教材中的基础知识去练，练好基本功，少练“高、难、尖”。但
在练的过程中要防止身陷“题海”而不能自拔，更不能猜题“押宝”。因为
MET 试题覆盖面很广，只有抓准基础知识，做一定数量练习，才能达到举一
反三的目的。当然也要做一些有针对性、代表性的综合性模拟试题，把基础
知识变活变巧。
116．请注重书面表达题的平时训练
英语书面表达题主要是检查考生对所学知识的运用能力，许多同学对做
这种题感到没有信心，这大可不必。实际上，现在MET 试题中的书面表达题
是一种变相的汉译英，或者说是用活了的汉译英，要把提示的内容全部包括
进去，但又不是逐句翻译。要做好这类题，必须以平时多练为基础。你可以
每天都坚持用当天学过的字词、句型造几个句子，在这个基础上每周写一幅
短文。一开始时尽量写周围熟悉的人或事，如My family、My scbool 等。在
写时尽量用你熟悉的词、有把握的句子、课文中所学过的句子来写。要求做
到格式正确、文理通顺、书写规范、段落分明、语言准确。而训练的程序可
以是：同词造句、联句成段、翻译短文、写日记、改写缩写、模仿引路、独
立成章。体裁上要力求多样化，可以写信、写日记、写通知等等。
在平时训练中，可以在老师的帮助下，设计一些有针对性的题目进行强
化训练。训练时要注意以下几点：
1、根据要求和提供的情景内容，确定文章体裁。
2、按体裁组织素材，安排文章结构，并把情景所提供的内容全容纳进去。
3、内容按7 种�
