数学新干线-第2部分
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手就被切成这样了。不过您再看看,像这样的伤口什么都不需要,只要涂上一点点癞哈蟆
油马上就不疼了,血也立刻止住。请瞧一瞧、看一看……”
那么,卖癞哈蟆油的切多少回纸片能超过3万张?
提示
计算的时候超过想象的增长速度会让你大吃一惊的。
解题 一张变二张、二张变四张
第1回 (算式省略)= 2张 第8回 (算式省略)= 256张
第2回 (算式省略)= 4张 第9回 (算式省略)= 512张
第3回 (算式省略)= 8张 第10回 (算式省略)= 1024张
第4回 (算式省略)= 16张 第11回 (算式省略)= 2048张
第5回 (算式省略)= 32张 第12回 (算式省略)= 4096张
第6回 (算式省略)= 64张 第13回 (算式省略)= 8192张
第7回 (算式省略)=128张 第14回 (算式省略)=16384张
第15回 (算式省略)=32768张
答案 15回
小知识
把这种成倍增长的计算方法叫“积算”。其典型的例子是“老鼠计算法”。
“老鼠计算法”的出处来自于:“在一月份的一对(雌雄2只)老鼠,每个月生六对(雌雄12只)小老鼠,假设小老鼠长一个月后也是每个月生六对(雌雄12只)小老鼠,到年末总共有多少只老鼠?”
这是多么宏大的数字啊。
712×2=27682574402只
也就是说一共有(276亿8257万4402只)
1月末 (1+1×6)对×2只=71×2只
2月末 (7+7×6)对×2只 = 7×(1+6)×2=72×2只
12月末 712×2只
2、1+2=3、 4+5+6=7+8 5分
问题
1+2=3
4+5+6=7+8
9+10+11+12=13+14+15
上面的算式还真的很有意思啊。那么让我们想想后面的算式如何排列呢?
提示
注意左边最初的同类项及左、右两边同类项的数值。
解题 1+2=3、 4+5+6=7+8
注意到左边最初的同类项是n2这一点很重要。由于左边的同类项数是n+1、
右边的同类项数是n,所以
n2 + (n2+1) + … +(n2+n)
=(n2+n+1) = (n2+n+2)+ … +(n2+n+n)
接下来的算式是n=4和5时
16+17+18+19+20=21+22+23+24
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
答案
16+17+18+19+20=21+22+23+24
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
3、 32 + 42 = 52 15分
问题
102 + 112 + 122是两个相连的整数平方的和,请求出其整数。
102 + 112 + 122 = □2 + ○2
提示
把连着的整数设为未知数,关键是怎样设置。
解 32 + 42 = 52
把相连的小的整数设为11+n(但是n≥1)。
根据题意
(算式省略)
把上列算式整理为
(算式省略)
所以(算式省略)
解上列算式为
(n…2)(n+25)=0
由于(算式省略)、所以 n=2
因此,所求的整数是 11+n=13和11+n+1=14
所以 (算式省略)
答案
(算式省略)
小知识
有趣的数字
(算式省略)
4、十字之和 30分
问题
请把从1到9的数字填写到下图的十字架中,使横、竖的数字之和相同。每个数字只能用
一次。
(图略)
提示
横、竖的数字之和是多少,十字架中间的数字最关键。
接下来需要反复把数字填进去试,找到整数的对称性就简单了。
答案不只1个。
解题 十字之和
我们设横、竖的数字之和为S,十字架中间的数字为X(横、竖计算时都加算X)
(算式省略)
由于S是整数,所以45+X需要用2去除。也就是说X是奇数。(45+奇数=偶数)。
X=1时S=23、X=3时S=24、X=5时S=25、X=7时S=26、X=9时S=27。余下的数字自己试着填上就可以了。
答案
(图略)
第二部分第1节
5、三角形各边之和 30分
问题
请把从1到9的数字填进下图的三角形里,使每边数字的和都等于23。但是每个数字只能
使用一次。
提示
和前一道题的十字架中间的数字被重复计算一样,这道题是三角形顶角的数字被重复
计算,
答案不只1个。
解 三角形各边之和
我们设三角形各边数字之和为S,各顶角的数字依次为X,Y,Z(顶角的数字X,Y,Z被两个边重复使用。)
(算式省略)
因为 S=23,那么根据上列算式得出 X+Y+Z=24。所以可以确定 X=7、Y=8、Z=9。
8和9之间的另外两个数字的和应该是6,得6的数字是4和2、5和1这两种组合。
答案
(图略)
6、巧填奇数 20分
问题
把从1到9的数字(每个数字只能使用一次)填进3×3的方形矩阵内,使横、竖、斜线数字
之和都相等,这是很普通的矩阵数字游戏。那么,请把从1到17的奇数(每个数字只能使用一次)填进下图的3×3方形矩阵内。
提示
填在中间的格子里的数字是关键
解题 巧填奇数
把横、竖、斜线数字之和设为S,每个格子里的数字如图所示
A B C
D E F
G H I
3S=(A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+I)=81
所以 S=27
把中间的格子里的E算在内,其和为
A+E+I=27 B+E+H=27 C+E+H=27 D+E+F=27
因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=27x4
81+3E=108
所以 E=9
然后再按照(算式省略)算式把数字试着填进格子里,定下来17、15、13的位置。
答案
15 5 7
1 9 17
11 13 3
如右图(图略),偶数的方形矩阵也很简单。此例题例举了0到16的偶数(0也是偶数)
14 0 10
4 8 12
6 16 2
7、难画也要画 15分
问题
请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。
(图略)
提示
留意正方形的对角线。
解题 难画也要画
边长为1的正方形的对角线长度,根据勾股定理,应该等于√2。
即算式为 (12 + 12 = √22)
那么,长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为
(算式省略)
那么,√5的长度也可以用同样的方法算出来。
答:
(图略)
小知识
如果不是在一条直线上,像下图那样用格尺也可以做成无理数。
(图略)
3、方程式的篇章
“方程式”的功能
在希腊的几何学中心,第欧范德斯)(246?330?)在研究方程式
上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩,在他的
墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。
第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分
之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子,但是这个孩子在父亲去世的
4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。
设第欧范德斯在X岁时去世
算式为: (算式省略)
X=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。
在本章里所列出的方程式和这个问题同样,都是中学1、2年级的水平,决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。
然而,掌握思考的能力是非常有用的,逻辑性的思考是方程式的生命。
1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只? 15分
问题
有墨斗鱼、章鱼和海星共12只,总共有87只脚。
那么请问, 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢?
提示
墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。
解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只?
把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为X只、Y只、Z只。
头 数: X+Y+Z=12。。。。。。①
脚合计: 10X+8Y+5Z=87。。。。。。②
所以: y = (27…5x)/3
由于Y是整数。所以必须用3除去 27…5x。因此,x=3
所以 Y=4、Z=5
答案
墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。
小知识角
刚才我们计算过的'计算墨斗鱼、章鱼和海星',是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书'孙子算经'里面的。那时并不是鹤和龟,而是野鸡和兔子。
日本初次提到这类问题是在17世纪的'因归算歌'里,仍然是野鸡和兔子。
内容是'野鸡和兔子共有32只,数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只?'
虽然用方程式很简单就能解题,但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。
假设全部是野鸡的话,应该有64(32×2)只脚。由于实际有94只脚,比64只多出30只脚。
如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚,那么兔子就有15(30÷2)只。
所以剩下的17只是野鸡。
从此以后,在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场,最后好像一直到19世纪
前期(江户末期)定为鹤和龟了。
(图略)
(提高能力)
2次方程式的题解和公式
相加是13、相乘是36的两个数字是什么数?咋一看好像很难似的,其实很简单。用'急转弯',首先我们考虑一下2次方程式ax2 + bx + c(a≠0)的解的公式。
把C移到右边、再用a除以两边。
(算式省略)
由于想做成平方的形式,要在两边加上(算式省略)。
(算式省略)
把左边变为平方的形式、就是
(算式省略)
根据这个算式,2次方程式ax2 + bx + c的2个解是、相加是(算式省略)、相乘是(算式省
略)。
也就是说开头的问题,相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 + bx + c解
开就行。从上列公式我们算出
X=4、9
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 -13x + 36 = (x-4)(x-9) = 0
2、配错了的浓度是多少? 15分
问题
把20%的糖水和30%糖水混在一起,想配成24%的糖水,可是一不小心把比例弄反了。
请问配错了的糖水的浓度是多少?
(图略)
提示
本来打算配制的比例是多少?
解题 配错了的浓度是多少?
(图略)
本来打算配制的比例是
20%的糖水的量:30%糖水大量
=(24…20):(30…24)
=2:3
把配错了的糖水设为x%
本来应该按2:3配制,结果配制成了3:2。所以
(x…20):(30…x)=3:2
因此 x=26
答案 26%
3、球的大小 15分
问题
想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里,装进去一看,像下图那样正好装满。圆柱
的底边直径为32cm,高为36cm
那么球的半径是多少cm呢?
(图略)
提示
画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。
解题 球的大小
像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。
(图略)
设球的半径为r(cm)
AB=2r
AC=36…2r
BC=32…2r
根据勾股的定理
(算式省略)
因此
(算式省略)
整理上式为
(算式省略)
由于 r小于32(圆柱的底边),所以
r=10(cm)
答案 球的半径为10cm
4、最大的积是多少? 15分
问题
组合从0到9的数字,请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。
提示
两组数之和为一定时,两组数的差越小,其积也就越大。那么我们设两个组数分别为
a+b、a…b、就会得出
(a+b)(a…b)=a2-b2
所以可以得知 b=0时的积最大。
解题 最大的积是多少?
两组数的第一位数是9和8的情况下,两组数的差最小,积也最大。
下一位数是6和7,如果和9和8组合在一起,即 96和87。这两组数的差最小,积也最大。
(96…87=9、97…86=11)
同样,把接下来的位数4和5像964、875这样组合,两组数的差最小,积也最大。
再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合,两组数的差最小,积也最大。
把最后的0和1也像96420、87531这样组合,由于两组数的差最小,所以积也就最大。
这就是我们想要的答案。
答案 96420和87531
5、同时打开 20分
问