数学新干线-第5部分

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　　　　=底边ABx高H除2　　　　
　　　　由于底边ABx高H等于平行四边形ABCD的面积，所以　　　　
　　　　三角形ABP的面积…三角形DCP的面积　　　　
　　　　=底边ABx高H除2　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　6、星形角之和　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　求星形尖端的角度之和。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请参考三角形的两个内角和等于另一角的外角。（图略）　　　　
　　　　解题　星形角之和　　　　
　　　　如图所示，现在我们把星形尖端角的度数设为角a、角b、角c、角d、角e。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　我们如果注意到三角形BGD的内角角b、角d的另一角的外角的大小等于角a＋角d，并且三角形CEF的内角角c、角e的另一角的外角的大小等于角c＋角e。那么三角形AFG的内角和用下列算式可以表示。　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　180度　　　　
　　　　7、摸壁竞赛　30分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　从点A出发到X、Y的墙壁上摸一下墙，然后跑回终点B，比赛看谁跑得快。　　　　
　　　　怎样跑最先能到终点呢？而且，最近的距离是多少米？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　可以考虑从终点B往回跑跑看。　　　　
　　　　解题　摸壁竞赛　　　　
　　　　我们可以考虑以Y线为中轴，找出点B的对称点B'、再以X的延长线为中轴找出点B'的对　　　　
　　　　称点B〃。　　　　
　　　　首先，从点A开始跑，到摸着墙壁X时是向B〃的方向跑的，在点P处摸到墙壁X。　　　　
　　　　然后，从点P开始跑，到摸着墙壁Y时是向B'的方向跑的，在点Q处摸到墙壁Y。最后，从点Q朝着终点B跑。　　　　
　　　　结果跑的距离和从点A到点B〃的距离相同。这是最短的距离。这个距离的长度根据三平　　　　
　　　　方定理可以得出是1300米。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　答案　1300米　　　　
　　　　


第二部分第5节　

　　　　7、圆的篇章　　　　
　　　　＇圆的章节＇的功能　　　　
　　　　　　　　为什么鸡蛋的形状接近球形呢？那是因为球形在表面面积相同的情况下，　　　　
　　　　可以有最大的内部面积。同样，圆形在周长相同的情况下，也可以得到最　　　　
　　　　大的内部面积。　　　　
　　　　那么接下来的问题就简单了。　　　　
　　　　国王给三个王子一根1000米长的绳子，让他们各自用绳子圈出自己认为是最大的土地　　　　
　　　　并且以此判断皇位的继承人。　　　　
　　　　首先大儿子圈出一个长400米、宽100米的长方形。　　　　
　　　　看到老大圈出的长方形，二儿子圈出一个边长为250米的正方形。国王看到后夸奖说　　　　
　　　　“和我想的一样”。　　　　
　　　　然而，继承王位的却是最小的儿子。那么小皇子是怎么圈的地呢？　　　　
　　　　圆的问题所达到的效果和三角形问题一样，都是在磨练我们对图形的感觉、直感能力　　　　
　　　　以及想象能力。　　　　
　　　　1、电车的内环线　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　山手线的外环线和内环线铁轨长度之差是多少米呢？我们设环形电车线路的半径是5km，外环线和内环线铁轨的中心线间隔是4m。（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请不要生气地说＇半径是5km吗？真是乱讲＇　　　　
　　　　＇译者注：山手线是日本东京都市区内的环行电车，相当于我们的城铁。南北向长，接近椭圆形＇　　　　
　　　　解题　电车的内环线　　　　
　　　　把内环线的半径解释为5km的话，　　　　
　　　　外环线铁轨的长度　=　（算式省略）　　　　
　　　　内环线铁轨的长度　=　（算式省略）　　　　
　　　　因此　外圈和里圈铁轨长度之差是　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　按照圆周率=3。14　　　　
　　　　≒　25　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　所以　答案是大约25米。随便说的半径计算起来真方便呀。　　　　
　　　　答案　约25米　　　　
　　　　2、求斜线部分的面积　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　在半径为6cm的圆内画一个正六角形，请问斜线部分的面积是多少平方cm？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　留意三角形。　　　　
　　　　解题　求斜线部分的面积　　　　
　　　　如图所示（图略），三角形ABC和三角形OBC由于底边和高相等，所以面积相同。因此，斜线　　　　
　　　　部分的面积也就等于扇形OBC的面积。我们把所求的面积设为S，则　　　　
　　　　S=（算式省略）　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　当给我们的不是角度而是＇弧线的长度＇时，试试看求扇形的面积S。　　　　
　　　　弧线的长度　　　　
　　　　S=圆的面积x　（图略）　　　　
　　　　周长　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　这个结果和高是r、底边为a的三角形的面积相同，真是感到不可思议啊。　　　　
　　　　3、银杏树　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　请求出图中4片银杏树叶的面积。设大圆的半径为2cm。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　请注意看图中重叠部位的白色部分。　　　　
　　　　解题　银杏树　　　　
　　　　把银杏树叶的顶间部剪下来，补在正中间的白的地方。于是，银杏树叶就成为边长是　　　　
　　　　（算式省略）的正方形。（图略）　　　　
　　　　因此，所求面积为　8平方cm　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　8平方cm　　　　
　　　　4、比直线短　20分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　有一块边长为100米的正三角形土地。　　　　
　　　　为了把土地分成两等份，要在中间砌一道墙，怎样才能使墙的长度最短呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　为什么在圆的章节里出现三角形呢？如果不这样认为的话就已经找到解题方法了。　　　　
　　　　解题　比直线短　　　　
　　　　我们砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　按照下列方法可以求出弧长。　　　　
　　　　设三角形的高为h（m）、根据勾股定理　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　因此，三角形的面积约等于4330（平方米）　　　　
　　　　把这个面积平均分成两份，并且设圆弧的半径是r（m）　　　　
　　　　（算式省略）　　　　
　　　　圆弧长L为　　　　
　　　　L=（算式省略）　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。　　　　
　　　　5、三个半圆的定理　20分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　把直角三角形的每一边作为直径画三个半圆，请问三个半圆之间的关系？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　这是勾股定理的应用问题。　　　　
　　　　解题　三个半圆的定理　　　　
　　　　半圆P的面积＋半圆Q的面积　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　（根据勾股定理，由于（算式省略），所以　　　　
　　　　=（算式省略）　　　　
　　　　=半圆R的面积　　　　
　　　　答案　　　　
　　　　半圆P的面积＋半圆Q的面积=半圆R的面积　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　即使不是正方形、半圆形，只要是以直角三角形的各边做为图形的一部分的各种图形　　　　
　　　　都是相似的。　　　　
　　　　图形P的面积＋图形Q的面积=　图形R的面积的公式是永远成立的。　　　　
　　　　6、希波克拉底的定理　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　希波克拉底（BC450年左右）是希腊的哲学家。　　　　
　　　　＇如图所示，把直角三角形的各边作为直径画圆时，请证明斜线部分面积的和等于直角　　　　
　　　　三角形的面积＇。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　这和三个半圆的定理很相似啊。　　　　
　　　　解题　希波克拉底的定理　　　　
　　　　三个半圆的定理是（P1＋P2）＋（Q1＋Q2）=R　　　　
　　　　R是以c为直径的半圆的面积。　　　　
　　　　就右图（图略）来讲，　　　　
　　　　R=直角三角形的面积＋（P2＋Q2）　　　　
　　　　因此　　　　
　　　　（P1＋P2）＋（Q1＋Q2）　　　　
　　　　=直角三角形的面积＋（P2＋Q2）　　　　
　　　　所以　　　　
　　　　P1＋Q2=直角三角形的面积　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　以直角等腰三角形的直角为中心，以直角边为半径，画四分圆；以三角形斜边为直径画半圆，得到月牙儿状图形。此月牙面积等于三角形的面积。　　　　
　　　　四分圆的面积=（算式省略）　　　　
　　　　半圆的面积=（算式省略）　　　　
　　　　因此　　　　
　　　　四分圆的面积=半圆的面积　　　　
　　　　两边同时减去三角形和斜线部分之间的弓形的面积，那么　　　　
　　　　直角三角形的面积=月牙儿的面积　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提高能力　　　　
　　　　圆　=　三角形？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　请在上面1～5图中选出唯一一个不同的图形。　　　　
　　　　你会说＇这不是全部都不一样吗？＇　本来是这样的。在＇只有同样的图形才相同＇的情况　　　　
　　　　时是这样。　　　　
　　　　＇相似的图形也相同＇这种见解也是成立的。这种时候1和2就成为一样的了。　　　　
　　　　可是不管是哪一种也选不出来只有一个不同的图形啊？为此，要用其他的方法去看图形　　　　
　　　　了。　　　　
　　　　在橡胶薄膜上画出图形，把薄膜抻长或缩短时就会变成三角形、四角形、椭圆形、及　　　　
　　　　圆形等各种形状。　　　　
　　　　对追求图形本质的新科学来说，抻长、缩短、歪斜、重叠等都可以看成是相同的。我们　　　　
　　　　把这个叫做同相。　　　　
　　　　只有5图，无论你怎样抻长、缩短、歪斜，因为无法变成其他的图形，所以⑤和其他图　　　　
　　　　形都不一样。因此，要是选出只有一个不同图形的话，只能是选⑤图了。　　　　
　　　　7、中心点在哪儿呢？　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　有个人想在圆盘的中心点钉上钉子挂在墙上。钉子如果不在中心看起来会不顺眼，所以　　　　
　　　　尽可能的找到准确的中心位置。工具只有一个直角尺。　　　　
　　　　那么怎样做才好呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　直角尺是木匠使用的用金属折成直角形的尺。　　　　
　　　　解题　中心点在哪儿呢？　　　　
　　　　如图所示，把直角尺的直角合在圆周的一个点上，再找到两个直角边和圆的接触点，将　　　　
　　　　两点连线。按照同样的方法再另画出一条线，两条直线的交点就是圆的中心点。这是泰勒斯定理“直径的两端和圆周上的任意一点相连后形成的角是直角”的应用。　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　小知识　　　　
　　　　　　　　
　　　　由于三角形的内角和为180度，所以　　　　
　　　　（算式省略）=180度。。。。。。1　　　　
　　　　由于OA、OB、OP是圆的半径，所以三角形OAP和三角形OBP是等边三角形。　　　　
　　　　由于等边三角形的两个底角相等，即　　　　
　　　　（算式省略）。。。。。。。。。。。。2　　　　
　　　　根据1、2，　（算式省略）=180度　　　　
　　　　所以　（算式省略）=90度　　　　
　　　　由上列算式证明，角ABP是直角。　　　　
　　　　


第二部分第6节　

　　　　8、反论（奇谈怪论）的篇章　　　　
　　　　“反论章节”的功能　　　　
　　　　　　　　有两个不同大小的蛋糕，媳妇和婆婆两个人吃。婆婆说“你先请吧。”　　　　
　　　　媳妇先拿大的去吃了。婆婆看到后说“要是让我先吃，我肯定会选那个　　　　
　　　　小的是吧。”　媳妇说“母亲，您有什么不满意的吗？这不是按照您所想的　　　　
　　　　拿了吗？”　　　　
　　　　反论智力题的内容是把反论做为教材的。可以考虑成是理论问题的变形。　　　　
　　　　因此，他们的效果几乎是相同的。只是反着说而已，更能锻炼人们的直觉判断能　　　　
　　　　力。　　　　
　　　　1、　谎言村的诚实者　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　诚实村的村民一定诚实，谎言村的村民肯定说谎。这两个村相邻，村民们常有往来。　　　　
　　　　正好有人来到了这里，可是不知道是哪一个村庄。要想知道是哪一个村庄，怎样问才好　　　　
　　　　呢？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　由于两村的村民来回走动，即使随便找个人问也不知道是哪个村的。如果所到的村庄是　　　　
　　　　诚实村，你可以考虑一个诚实村和谎言村的人都一样回答的问题。　　　　
　　　　解题　谎言村的诚实者　　　　
　　　　来人问到＇请问你是住在这个村里的吗？＇，回答如下列表格所显示的那样，如果是诚实　　　　
　　　　村的人回答是肯定的，如果是谎言村的人回答也是肯定的。　　　　
　　　　 询问的人　=　诚实 询问的人　=　说谎　　　　
　　　　诚实村 是 是　　　　
　　　　谎言村 不是 不是　　　　
　　　　2、你永远不会秃　5分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　＇你的头发很多呀，拔掉一根你的头发吧。只是拔掉一根又不会有太大的影响。你不会秃顶的。　　　　
　　　　假设没拔头发时是第n回，拔掉一根头发后是第n＋1回。我们确认了第n回的情况和后来只是拔掉一根头发的第n＋1的情况完全是两种不同的秃顶情况。　　　　
　　　　于是，无论拔掉多少头发都不会变成秃顶的。所以，完全把头发拔光你也不会变秃顶的＇　　　　
　　　　那么，要想避开这个反论应该怎么办才好呢？　　　　
　　　　提示　　　　
　　　　让我们好好考虑一下秃顶到底是怎么一回事？　　　　
　　　　（图略）　　　　
　　　　解题　你永远不会秃　　　　
　　　　如果明白秃顶的定义是什么，像这样的反论就不成立了。　　　　
　　　　比如说，我们明确了＇头发在少于3万根以下的时候叫秃顶＇这个定义以后，那么假设第n回的头发是3万根＋1时，拔掉一根的n＋1的情况下就变成了＇秃顶＇。　　　　
　　　　3、三角形的两边之和等于另一边　15分　　　　
　　　　问题　　　　
　　　　＇设三角形ABC的AB边的中心点为D、AC边的中心点为E、BC边的中心点为F。然后，连接各中心点D、F、E形成平行四边形ADFE。　　　　
　　　　在这个平行四边形里，AD和EF的长度相等，AE和DF的长度相等。因此，AB和AC的长度之和等于连接BD、DF、FE、EC的曲线的长度。　　　　
　　　　下面也同样，曲线BDFE的长度等于曲线BGHIFJKL的长度。　再接下来还是同样。。。。。。，　　　　
　　　　经过无数次重复之后，这个像锯齿似的曲线就会和底边BC重合。所以，三角形的两边之和等于另外一边。＇　　　　
　　　　那么，怎样能回避这个反论呢？　　　　
　　　　（图略）