数学新干线-第6部分
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
那么，怎样能回避这个反论呢？
（图略）
提示
请用显微镜看。
解题 三角形的两边之和等于另一边
不管锯齿变得怎样细小，如果用显微镜看还是锯齿。不管怎样折叠弯曲，锯齿的长度还
是等于AB＋AC。
底边BC是点B和点C之间最短距离是直线，不管锯齿变得怎样细小，即使看起来好像和直线完全重合了一样，也不会变成直线。
小知识
后来成为文艺春秋出版社社长的菊池 宽最讨厌几何和数学。看到＇证明三角形的两边
之和大于另一边＇的考试题出来时，竟然在答案上写到＇这个证明就是，连狗都知道绕开走
＇
欧几里得（BC330？～ BC275？）利用＇线段的长短随着它所对应的角度而变。角度越大线
段的长度就越大＇的定理作出了证明。
（图略）
4、所有的圆周都相等 15分
问题
＇把盘子立在桌子上在不使其滑倒的情况下旋转一圈。于是，可以看到盘子的同心圆
盘子的底部也在一同旋转。如果在不使盘子滑倒的情况下旋转一圈的话，就形成了圆。所以，大的圆也就是盘子的圆周和小的圆也就是盘子的底部的圆周长相同。也就是说，所有圆周的长度都相等。＇
那么，怎样解决这个反论呢？
（图略）
提示
画一个图试一试。
解题 所有的圆周都相等
1在进入正题之前
设三角形ABC的两边AB和AC的的中心点分别为M和N。
在BC上的任意一点D和A连接，在MN上的交点为P，那么D和P是1比1相对应
的。因此，BC上所有的点在MN上都有相对应的点。
并且，MN上所有的点在BC上也都有相对应的点。
也就是说，BC上的点和MN上的点都是1对1相对应着的。
然而，MN的长度是BC的一半。像这样不同的两条线上的点，即使每一个点都是1对1相对应，但是并不能说两条线就相等。
（图略）
2圆周长
如图所示（图略），AB是大的圆旋转一圈的周长，PQ是同时旋转的小的圆的周长。
大圆的圆周上的点和AB线上的点是1对1相对应的。小圆的圆周上的点和PQ线上的点也是1对1相对应的。
因此，大圆的圆周上的点和小圆的圆周上的点也是1对1相对应的。
到这里和问题当中所说的意思是相同的。
如1所述，虽然说是1对1相对应的，并不能说长度就相等。因此，问题中提到的＇所有圆周的长度都相等。＇这一论述是不能成立的。
标题图解：能力提高
镜子照东西为什么只是左右相反呢？
镜子里照出来的影像左右是反过来的。为什么只是左右相反而不是上下倒过来呢？
面向镜子靠近看时，镜子里的影像反过来向前靠近。也就是说，镜子的功能是可以
改变前后位置的。
站在垂直放置的镜子前面，所看到的影像是上（头）在上、下（脚）在下、左在左边、右
在右边。然而，虽然面向镜子而立，镜子里的影像却是前后变换面朝向你这边。虽然镜子里的影像是上在上、下在下、左在左边、右在右边，由于前后变换着的影像和你面对面，所以左右是相反的。
站在平放在地上的镜子上面，这回你看到的是上（头）下（脚）颠倒的影像。然而，这种情
况上面应该是腹部，下面应该是背部。也就是说，上下仍然是不变的。之所以头和脚相反倒立过来，是因为前面所说的前胸和后背变换的原因。因此左右仍然是反过来的。
也就是说，只是左右相反的影像是因为镜子的功能是把上在上、下在下、左在左边、
右在右边原封不动的照下来，只是前边和后边倒过来而已。
有一种使左右不倒过来的方法。把三面镜子成直角放置，站在这种镜子的前面斜着看两
边的镜子，镜中的影像是前边和后边没有改变的。因为经过两次反射，左右相反的影像又一次被反射回来，所以看到的影像是左右没有倒过来。
5、弘法选笔 15分
问题
＇弘法不用挑笔＇。这个命题反过来就是＇不挑笔的人是弘法＇，命题里边的含义并不能说
肯定是＇不是弘法的人就挑笔＇。然而，把命题掉过来＇挑笔的人不是弘法＇的说法肯定是真的。上面是逻辑学所讲的东西。然而，＇如果不对他发脾气就不学习＇的命题的对偶是＇如果学习就被发脾气＇，这样的说法怎么也不能成立。因此，命题的对偶肯定是对的这种逻辑学上的理论是正确的吗？
弘法不挑笔 相反 不挑笔的人是弘法
对面 对偶 对面
不是弘法的人就挑笔 相反 挑笔的人不是弘法
提示
＇说谎！＇就是＇不要说谎啊＇的意思，这是一种常用的表现。＇如果不对他发脾气就不学
习＇的真正含意是什么呢？
解题 弘法选笔
开 展对偶和三段论法等理论，必须是把命题以惯用的手法直接表达出本意来。＇不被～就不＇是一种惯用的手法，他的意思是＇不等到被～就不＇。所以，命题＇如果不对他发脾气就不学习＇的真正含意是＇不等到被发脾气就不学习＇。
把这句话掉过来说就成为＇如果学习就不会被发脾气＇。这很明显是正确的。因此，对偶肯定是正确的反论是不成立的。
小知识
给你命题＇p…》q＇的时候，可以得出相反、对面、对偶等3个命题。
相反 ＇q…》p＇ 相反未必是正确的。
对面 ＇p…》q＇ 对面未必是正确的。
对偶 ＇q…》p＇ 对偶肯定是正确的。
相反的相反、对面的对面、对偶的对偶就返回到原来的命题了。
请用算式“X = 2 X2 = 4 ”确认上面的关系。
（图略）
6、那个谎话是真的吗？ 15分
问题
在一张卡片的第一面上写着
背面的话是假的（字框省略）
再看第二面时这样写着
背面的话是真的（字框省略）
第一面上的话如果是真的，第二面的话就是假的，那么第一面的话就是假的。
第二面上的话如果是真的，第一面的话就是真的，那么第一面的话是真的同时也是假的。
为了避免这样的反论，把第二面的话改写成
背面的话是假的（字框省略）
会怎么样？
提示
请从反正面都是真或者都是假来考虑一下。
解题 那个谎话是真的吗？
背面的话是假的 背面的话是假的
如果两面的话都是真的，那么两面的话就都是假的。如果两面的话都是假的，那么两面
的话就都是真的。然而，这两个都是不可能的。所以，一个是真的，另一个就应该是假的。但是哪一个是真的弄不明白。两面都写着同样的字，哪一面是真，那一面是假，把人都弄糊涂了，真是不可思议呀。
小知识
一个村庄里唯一的一个理发师傅这样说到＇这个村里的人，自己不剃胡须的人的胡子都
由我来剃。＇
那么，这个理发师傅自己的胡须是自己剃还是由别人来剃呢？
如果理发师傅是自己剃的情况下，那么他就是＇自己剃胡须的人＇。于是，他说的＇自己不
剃胡须的人的胡子都由我来剃。＇的话就不对了。
如果理发师傅自己的胡须是由别人来剃的话，那么他就是＇自己不剃胡须的人。＇于是，
因为他说＇自己不剃胡须的人的胡子都由我来剃。＇的话仍然是不对了。
这是伯特兰·罗素（1872～1970）作品中有名的反论问题。
7、突然袭击的考试30分
问题
当老师对学生们宣告说＇考试要搞突然袭击＇时，有一个学生说
＇那样考试就无法进行了。＇让老师大吃一惊。他的理由是
＇假设我们到期末的前一天为止考试还没有实行。那么，我们就会知道明天肯定要有考
试，就构不成突然袭击。因此，在期末的最后一天的考试就不能实行。那么期末的最后一天的前一天就成了可以考试的最后的日子。然而，在那天的前一天（期末最后一天的前前天）我们也会想到第二天是能进行考试的最后一天。这样，考试的最后一天又得提前一天。在那天的前一天我们又会想到第二天是能进行考试的最后一天，那么最后一天又要提前一天。这样一来，一天一天地把能进行考试的最后一天提前，结果突然袭击的考试就不可能进行。＇
那么，请问这个学生所说的理由正确吗？
提示
知道明天是能进行考试的最后一天的条件是什么？
解题 突然袭击的考试
那么假定明天是期末的最后一天。我们之所以会知道明天肯定要有考试，是因为到今天为止（期末最后一天的前一天）考试还没有进行。那么在今天开始上课之前，考试是在今天还是明天我们不知道。所以，那个学生的理论不能成立。
我们再假定期末最后一天的前一天考试还没有实行。那么，在期末最后一天进行考试的话，对于认为在期末最后一天肯定不会有考试的学生们来说就形成了突然袭击。
还是请同学们不要认为学校进行考试是多余的吧。
第三部分第1节
9、顺序的篇章
＇顺序章节＇的功能
在战国时期修建城墙原木是不可缺少的。
有一次，信长让秀吉数衫树林有多少根，对于性急又脾气暴躁的
信长交代的事情，必须在最短时间内数完，并且不能漏数错数。
因此秀吉准备了一千根绳子，把绳子分别系在每棵衫树上。然后
再数余下的绳子，很轻松就知道了有多少根衫树。这在数学上是＇1对1
的对应关系＇的理论应用。
秀吉真是聪明啊。
从某种意义上说，智力题是把逻辑性与理论性作为问题来看待的，而顺序的智力
题最重要的是：要有序的不断积累逻辑性思考能力。
在对大脑的锻炼上，顺序智力题应当说是最适合的。
1、汉诺塔 15分
问题
有A、B、C三根柱子。如图所示，在A柱上按大小有三个圆盘叠放在一起。请把三
个圆盘挪到C柱上，从下面开始按大小顺序摆放。
但是，圆盘一回只能动一个，在小圆盘上不能放大圆盘。
（图略）
提示
把三个小圆盘从小的开始按①②③顺序排列，先不管放到哪个柱子上，如果写下来移动哪个圆盘的话，按顺序就应该是①②①③①②①。
解题 汉诺塔
如图所示。
（图略）
小知识
汉诺塔来自印度神话里的玩具。
上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。
上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。
有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。
2、 巧分油 15分
问题
在桶里装入1斗（10升）油。请用7升和3升的容器，分成两个5升。
（图略）
提示
像下面那样写下顺序，最终参考桶（10升）里留5升，7升容器里放5升。
（图略）＇手顺顺序的意思＇
解题 巧分油
左边的图表用最少的次数分成两个5升。
（图略）＇手顺顺序的意思＇
小知识
在江户时代初期的代表作日本数学书＇尘劫记＇（吉田光由 1598～1672）里出现的问题叫＇油分算＇，本来被称为＇南蛮渡＇。出题的人自己是按右边的图表那样解题的。这种情况下，当然是用的次数越少越好。所以不能说是最好答案。
3、 优胜和倒数第2位是谁？ 20分
问题
A～H参加的高尔夫球赛的结果是按下列那样的顺序排列的。
1。A在第三位以内
2。B的前一位是H
3。B和C之间有两个人
4。C、F在第四位以下
5。C的前一位是A
6。D在F之前
7。E比D、G成绩好。
请问优胜者和倒数第二名是哪一位？
（图略）
提示
在直线上按顺序整理名次，判断出以谁为基准是关键。
解题 优胜和倒数第2位是谁？
A在第三位以内（1）并且在第四位以下C（4）的前面，所以可以确定，A=3位、C=4位。
在B和C（4位）之间有两人，所以B不是1位就是7位。如果B=1位，和B的前一位是H相矛盾，
所以B=7位（倒数第2位），同时可以判定H=6位。
把以上的结果在直线上做整理。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
A C H B
排名还有1位、2位、5位、8位四个，球员D、E、F、G还没有决定。
E排在D、G前边（7），D在F前边（6），所以第1名=E（优胜）可以确定。D、F、G不能确定。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
E
