数学新干线-第7部分
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E排在D、G前边（7），D在F前边（6），所以第1名=E（优胜）可以确定。D、F、G不能确定。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
E A C H B
答案
优胜者是E，倒数第二名是B。
4、假金币是这个 60分
问题
现在这里有12枚金币。里边有一枚是假的，但是看不出来。只是重量有些不同。
请用天平称三次找出假金币，并且判断一下假币比真币轻还是重？
提示
第1次称几个是问题的关键。如果第1次天平的两面相等，在后两回当中必须要找出来，
所以只能剩下4个。要是剩下2个的话，第1次天平的两面不相等就不好办了。
把12个金币画上A。B。C。D。E。F。G。H。I。J。K。L符号，第1次像下图那样称。
（图略）
解题 假金币是这个
（1）第1次两面相等时，（假币就是I。J。K。L其中之一）
第2次像下图那样称。
（图略）
①第2次两面相等时》假币就是L。
第3次比较L和A，看看比A（真币）轻还是重。
②第2次两面不相等时》假币就是I。J。K其中之一。
第3次比较I和J，如果两面相等，假币就是K。假币是轻还是重在称第2次时，如果I。J这一
边重的话，那么假币就轻，相反假币就重。
第3次两面不相等时，在称第2次时的I。J一边如果重的话，那么假币就重，相反轻的就是
假币。
（2）如果第1次两面不相等，而是左面重（反过来也是一样的）
①第2次像下图那样称。
（图略）
第2次两面相等时》
剩下的两个（G。H）当中哪一个轻就是假币。还有一次称一下就会知道。
②第2次左面重时，A或B哪个重，或者F轻三选一，所以再称一回就明白了。
右边重的时候也一样，所以不管怎么样只要称三次就会找出假金币。
小知识
这个＇假金币是这个＇的智力题出现在第2次世界大战接近尾声时的美国，在当时引起了很大的轰动。
据说由于许多年轻人热衷于其中，还影响了美国的战斗力。
这时候，有一个参谋想出一个办法。将此智力题用德语制成传单，在德国境内从空中撒下。
果然不出所料，据说是因为德国的科学家们热衷于这个问题，从而使战争渐渐地冷却下来。
5、只许称一回 60分
问题
装满金币的袋子有4袋。但是，有一袋是假金币。并且假金币不止一袋。
我们知道真的金币一枚重10克，假金币比真金币轻1克只有9克。
只许称一回，请找出假金币。
（图略）
提示
如果假金币只有一袋就很简单了，可是…
解题 只许称一回
首先在袋子上作出A、B、C、D记号。然后从每个袋子里面按顺序取出1枚、2枚、4枚、
8枚金币称重量。
因为所称的金币是15枚（1＋2＋4＋8=15），所以如果都是真金币的话，应该有150克。由于假金币比真金币每一枚轻1克，所以按称的重量比150克轻多少来算，就会知道哪个袋子是装假金币的袋子。下面的表格里X印是假金币的袋子。
A
1 B
2 C
3 D
4
1 轻1克时 X
2 X
3 X X
4 X
5 X X
6 X X
7 X X X
8 X
9 X X
10 X X
11 X X X
12 X X
13 X X X
14 X X X
15 X X X X
这是2进法的应用。
6、天平法码 60分
问题
想用天平称从1克到40克的重量，每一次加1克，最少要准备几个法码？
（图略）
提示
用a、b两个砝码称能有几种测量方法？
解题 天平法码
由于可以把法码放在天平上，用a、b两个法码（设a （图略）
首先1克的法码是无论如何要用的。
把其次需要准备的法码设为x克，就可以称x＋1克和x…1克。
由于x…1克是在1克的基础上继续加1克的重量
所以 x…1=1＋1
即 x=3
根据上式可以称出 1、2=3…1、3、4=3＋1克
把要准备的第三个法码社为y克，由于第二个法码可以称到4克，所以又可以称
y…4、y…3、y…2、y…1、y、y＋1、y＋2、y＋3、y＋4克的重量。
由于y…4是在4克的基础上继续加1克的重量
所以 y…4=4＋1
即 y=9
因此可以称出1、2=3…1、3、4=3＋1、5=9…（1＋3）、6=9…3、7=9＋1…3、8=9…1、9、
10=1＋9、11=3＋9…1、12=3＋9、13=1＋3＋9
再把要准备的第四个法码设为z克，可以称从z…13到z＋13。
和前面一样、
z…13=13＋1
所以 z=27
因此可以称出到40克的重量了。
也就是说、只要分别准备1、3、9（=3的平方）、27（=3的立方）克4种法码，就可以称出
从1克到40克、每一次加1克的重量。
答案
须要准备1克、3克、9克、27克四种法码。
小知识
＇天平法码＇的问题是17世纪前半叶法国的数学家巴谢想出来的问题。
原来的问题是这样的。
＇一个商人有一颗40磅的宝石。有一次不小心掉在地上摔成了4块。摔碎的宝石哪一个都是整磅数，用它代替天平的法码，可以称量从1磅到40磅的重量。那么请问摔碎的宝石每一块是多少磅呢？＇
7、福根儿 20分
问题
有一副扑克牌。从上面开始依次是黑桃、红桃、梅花、方片，且每副牌都是按A、2、3、4。。。K的顺序排列的。
把最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。然后同样是把成为最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。
就这样一副牌一副牌重复操作下去的话，问最后剩下的一张牌是什么牌？
（图略）
提示
扑克牌开始是52张（4x13）。
按照上面的做法，最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又
重新被放到最下面。
比如说，开始的牌有4张。经过4回（牌的张数动的次数）反复操作后，牌变成2张。这时下面的牌是开始时最下面的牌。
解题 福根儿
最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又重新被放到最下面。
开始时扑克牌的牌数是2、4、8、16。。。。张，到剩最后一张为止扑克牌是按照牌的2等分的张数在进行。所以开始时在最下面的牌就留到最后。
也就是说，剩下的扑克牌是最初4张牌的第4张牌、最初8张牌的第8张牌、最初16张牌的第16张牌、最初32张牌的第32张牌。
由于第52张牌不属于2、4、8、16、32。。。。张数列之内，所以，需要下一些工夫。
操作52张扑克牌牌剩下32张时，放在最下面的牌是最后剩下的牌。从52张减少到32张是，中间要扔掉20张牌（52…32）。由于第20次扔的牌是奇数牌，所以是最开始从上面数第39张牌。扔掉第39张牌，把下面的第40张牌放在扑克牌的最下面。结果这个第40张牌留到最后。
最初从上面数第40张牌是在黑桃13张、红桃13张、梅花13张之后的方片A。
答案
最后剩下的一张牌是方片A。
提高能力
汉诺塔与宇宙的寿命
关于汉诺塔的由来在148页已经讲述过了。
那么，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，等到64个圆盘全部重新摞在一起，宇宙被毁灭是什么时候呢？
让我们来考虑一下64个圆盘重新摞好需要移动多少回吧。1个的时候当然是1次。2个的时候是3次。3个的时候像我们已经解过的题那样用了7次。4个的时候。。。。。。这实在是太累了。
因此让我们逻辑性的思考一下吧。
4个的时候能够移动最大的4的圆盘时如图所示。
（图略）
到此为止用了7次。
接下来如下图状态时用1次，在上面再放上3个圆盘时还要用7次（把3个圆盘重新摞在一起需要的次数）。
（图略）
因此，4个的时候是＇3个圆盘重新摞在一起的次数＇＋1次＋＇3个圆盘重新摞在一起需要的次数＇
=2x ＇3个圆盘重新摞在一起的次数＇＋1次
=15次
那么，n个的时候是
2x＇（n…1）个圆盘重新摞在一起的次数＇＋1
由于1个的时候是1次，结果n个的时候为（算式省略）
1个圆盘的时候 （算式省略）
2个圆盘的时候 （算式省略）
3个圆盘的时候 （算式省略）
4个圆盘的时候 （算式省略）
5个圆盘的时候 （算式省略）
。。。。。。
n个圆盘的时候 （算式省略）
也就是说，n=64的时候是 （算式省略）回。
因此，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，
宇宙的寿命=（算式省略） 秒
用1年=60秒x60分x24小时x365天来换算的话，大约有5800亿年吧。
据说现在宇宙的年龄大约是150亿年，还差远着呢。
第三部分第2节
10、统计的篇章
“统计章节”的功能
国际收支，是把所有国家的收支合计之后应该得到0，可是每年都会
出现数百万美元的赤字，这是为什么呢？
这是由于各个国家的统计对象、精度、时机偏差、换算方法等不同
造成的。所以说统计如果不从基础上做好是不行的。
统计的定义是模糊不清的、且范围很广，在这里所涉及的主要是一些概率、排列组合、集合、还有平均的问题。
1、全胜冠军只能是梦 5分
问题
进行100次相扑比赛能胜99次的相扑运动员15连胜的概率是多少呢？
（图略）
提示
＇100次比赛胜99次＇的相扑运动员，虽然我们认为99连胜也不会感到奇怪。但是，那是不可能的。
解题 全胜冠军只能是梦
胜率99％的相扑运动员2连胜的概率是
0。99x0。99=0。9801约等于98％
3连胜的概率是
0。99x0。99x0。99=0。9703约等于97％
随着连胜次数的增加，概率就下降。
15连胜的概率是
0。99x0。99x0。99x。。。x0。99=0。8601
所以，只有86％的概率。横纲偶尔输一次也没有什么不可思议的。
答案
15连胜的概率是86％。
2、会开车的有3人 15分
问题
有8个人去郊外旅行。他们分别乘坐两台车，每台车上4个人。会开车的有3个人。那么有几种方式安排座位呢？
（图略）
提示
让我们试一下8个人能够乘坐的有两个驾驶席的车吧。
解题 会开车的有3人
我们设驾驶席为A、B，一般的座位是C、D、E、F、G、H。
在A、B席上坐的人是会开车的3人当中的2个人。坐在A席的人，因为3人谁都可以，所以有3种方式。坐在B席的人，是除了坐在A席以外的另两个人，所以3…1=2种方式。结果，在A、B席乘坐的方式有3×2=6种。
坐在后面座位C的人除了开车的两个人以外，因为8…2=6人当中谁都可以坐，所以有6种方式。
坐在后面座位D的人除C座以外的6…1=5人谁都可以坐。所以有5种方式。以下同样坐在E、F、G、H的人各有4种方式、3种方式、2种方式、1种方式。
因此，8个人坐的方式是
驾驶席坐的人 × 一般座位的人
=6×6×5×4×3×2×1
=4320种
让我们着实是吃了一惊啊。
答案
有4320种方式。
3、80分以上的学生有几人？ 5分
问题
在50个人的班级里，英语和数学考试分数在80分以上的学生分别是35人和30人。那么请算出两科都在80分以上的学生有几人？
（图略）
提示
请画图想想看。
解题 80分以上的学生有几人？
（图略）
英语得80分以上的学生有35人，数学得80分以上的学生有30人。合计65人。
从65人里减去两科都在80分以上的学生的人数x，就会比班级的总人数50人要少。
因此
35＋30…x大于等于50
所以 x大于等于15
也就是说，两科都在80分以上的学生至少有15人。
答案
15人。
4、三科都不擅长的学生有几人？ 15分
问题
在50个人的班级里，语文好的学生有32人， 英语好的学生有24人，数学好的学生有16人。
其中，语文和英语好的学生有15人，英语和数学好的学生有6人，语文和数学好的学生有10人。并且，三科都好的学生有2人。
那么，请算一下三科都不拿手的学生有几人？
（图略）
提示
这个问题也画张图想想看。
解题 三科都不拿手的学生有几人？
如右图所示（图略）。箱子里画着分别有一部分重合
