中国古代科学家传记-第158部分
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“割圆八线”。这种定义应用于钝角或更大的角度，势必引起符号判断或
一值对应多角的混乱，这在当时是一个相当麻烦的问题。梅文鼎、江永、
戴震、焦循都曾著书讨论，然而系统的论述却始于汪莱。在第一册算书中，
汪莱罗列了“弧角比例锐钝大小知不知”33 条、“正弧三角锐钝大小相从”
9 条以及“平三角形边角比例锐钝知不知”5 条，它们都是关于判断三角形
是否存在唯一解的问题。举例来说，汪莱称：“原所知角锐，对边小，又
所知角锐，审又所知角小于原所知角则所求对边小，若大于原所知角则不
能定。”就是说，已知球面三角形ABC 中的两个锐角A、B 以及一对边a，
求另一对边b。若B＜A，则b＜a 且唯一确定；若B＞A，则b＞a 但不唯一
确定，这就是“不知”或“不能定”。第四册算书的前半部分罗列出“弧
三角形有无定限”40 条，则全是仅有一解的球面三角问题。其中有些条目
不包括在第一册算书之内，例如他论述了球面三角形的以下性质：若a＋b＞π，则c＜2π…（a＋b）；若a＋b＜π，则c＜（a＋b）；c＞｜a—b｜等等。
除此之外，第一册算书还专门论述了解球面三角形的“垂弧法”、“次形
法”和“以量代算法”，这些内容基本上都是对梅文鼎《弧三角举要》的
进一步阐释；但是汪莱的“量角度新法”利用极三角实现球面投影图内半
周角度的“以量代算”，系对梅氏《环中黍尺》中球面三角图解法的一个
发展。
《衡斋算学》第二册专门讨论已知勾股积与勾弦和求其他元素的勾股
和较术问题。梅■成在《数理精蕴》和《增删算法统宗》中曾提出过如下
方法：设勾股形面积为A，勾弦和为K，则解三次方程
x3 …K
x2 ＋ 4A2
= 0，
2 2K
得x 为勾。但是汪莱认为此题应有两个答案，“若问者暗执一形，则对者
交盲两数”，遂另创“有两积相等、两勾弦和相等，求两勾股形各数”一
法，其法须解三次方程
3 2 （4A）2
y ＋ Ky …= 0，
K
得其正根y 为两勾弦较的几何平均数，再解二次方程
z2 …（K …） ＋ y2
yz = 0，
得二正根就是两个勾弦较。对于这一结果，当时的一些学者不能理解，认
为汪莱的算法不如梅■成的简捷。其实这一工作中已蕴涵着对高次方程正
根个数的探索，它与第一、四册算书中对球面三角形“知不知”的讨论一
起，构成了汪莱方程论研究的先导。
汪莱最重要的数学贡献是他在方程论方面的工作。在研读秦九韶、李
冶算书的时候，汪莱发现其中有些算题不只有一个解，而秦、李专以一数
为答案，是“以不可知为知”，于是著《衡斋算学》第五册，罗列出三次
以下各类方程共96 个，逐一考察其“知不知”。这里的“知”与“不知”，
与第一册算书一脉相承，即指方程是否仅有一个正根。汪莱所使用的术语，
则沿用《数理精蕴》所介绍的“借根方法”，例如，他称：“有几真数，
多几根积，与几二乘方积相等。。可知”，即是说方程
ax 3 …cx …d = 0
仅有一个正根；又称：“有几真数，多几二乘方积，与几根积相等。。不
可知”，即是说方程
ax 3 …cx ＋ d = 0 不是仅有一个正根。这一工作后来启发了李锐对方程论的兴趣，汪、李二人在方程论领域的讨论极大地丰富了清代代数学研究的内容。在第五册算书中，汪莱还就三次方程
3
…＋ d = 0
讨论了根与系数的关系。他指出（ax） ，该方（cx） 程如果有三个正根x1，x2 和X3，则
bc
x ＋ x ＋ x = ，xx ＋ xx ＋ xx = ，
123 122313
aa
xx x = da
，
12 3
这是F。韦达（Viéte）定理的一个特例。在《衡斋算学》第七册中，汪莱
进一步钻研代数方程论，他首先指出：如果高次方程可以分解成若干个一
次方程，那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。其次，他又专门讨
论三项方程
xm=pxn＋q=0（m＞n 且均为正整数；p；q 为正数）
存在正根的充分条件，他在书中列举了18 个例子，由中可总结出上述
方程有正根的条件为
q
m n
m
np
m
n
￡ m n
… （ ） …
（ ）
r · 。
《衡斋算学》第三、六册，分别讨论“有全弧通弦求五分之一弧通弦”
和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”，即已知半径和弦长，求该弦所对应
弧的部分之弦长问题。设以r，a 分别表示半径、弦长，a5 和a3 则分别表
示“五分之一弧通弦”和“三分之一弧通弦”，汪莱证得
1
5 5
3 4 5
5
3
2 3
3 3
2 a
a
r
a
a
r
a a
a
r
= ＋ … 和 = … ，
当时汪莱尚未见到明安图的《割圆密率捷法》，因此矜为创获；及至
见到明氏遗稿抄本，遂有悔少作之意。但汪莱所使用的几何方法，实为董
方立《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等书推求分弧通弦与全弧
通弦关系之工作的前驱。
《衡斋算学》第四册之后半部分名为“递兼数理”；“递兼”就是组
合。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和材料，但是明确提出类似于
今日的组合之定义并对组合性质予以讨论的则是汪莱的这篇“递兼数理”。
他在开篇堂而皇之地宣称：“递兼之数，古所未发，今定推求之则。”他
所推求的重要组合公式有：
c
c c
c
m
n m n
m i
n
i
m
m n
m m
n
m n
= …
=
=
…
=
…
。 2 1
1
，
，
！
！ ！
，
（ ）
在论证最后一个公式时，汪莱借用了传统的垛积知识，试以Cm为例，
2
他说：“以一物为主而兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复
兼先为主之物，故所得必少一数，由此递少遂成三角堆形。”就是说：从
m 个元素中每次取2 个的组合数，可以看作先确定1 个元素后将其与其余
元素相配，得组合数为（m…1）；再取第二个元素与不包括第一个元素的其
余元素相配，得组合数（m…o—12）；依此类推，组合数每次递少一数，
故得组合总数为，这就是一个（平）三角堆，即公差为的一阶等差级
数，其和为（ ）。同理， ， ，。， 则分别对应一个
i
i
m
=
…。1 1
1
2
1
m m… …1 C C C m 3
m 4
m n
二乘、三乘、。、（n…1）乘三角堆。一般三角堆的公式，早已为朱世杰所
知；汪莱虽然没有读到未氏的《四元玉鉴》，他在“递兼数理”中也给出
了“三角堆求积通法”，从而建立起了“递兼”与“垛积”这两类组合问
题之间的联系。
汪莱青年时代所著的“叁两算径”，则是中国数学史上第一次系统探
讨非十整进制算术的论文。内中列出了二至九进制的乘法表，以九进制为
例，其相应的乘法口诀为：“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、
八六五三、八七六二、八八七—。。”，即8×2=17，8×3=26，8×4=35，8×5=44，8×6=53，8×7=62，8×8=71，。。关于二至九进制的除法，汪
莱仅关心其商是整数或有限小数的情况，他称之为“法数合乃宜”；例如，
对于九进制，满足上述条件的“法”仅有一个3，相应
的除法为：13
= 0。3 ， 23
= 0。6 ，
33
=1 ，其余任何数为“法”来除九进制的
数，都不可能得到整数或有限小数的商。在该文的最后，汪莱还指出了非
十整进制算术并非向壁虚构的事物，他举例说：“造律者，因欲三分损益
为法，故立数于九。近代窥天者，因以日十二时为法，故立天数三百六十
度。”
《衡斋遗书》中还有许多有关数学的论著。“覆载通几”主要是阐释
第谷体系的行星及日月运动规律的天文学著作，但其中诸图都赖几何定理
加以说明，附录“四边形算法”则是汪莱对梅文鼎《三角法举要》（即《平
三角举要》）的增补之作。“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线右解”，
系汪莱与同乡学者程瑶田讨论磬折重心位置的一篇论文，文中运用了杠杆
原理。“校正九章算术及戴氏订讹”对《九章算术》及戴震所作的校勘提
出了若干条意见，其中许多见解与李潢的《九章算术细草图说》不谋而合。
《衡斋文集》中还收有汪莱为张敦仁《缉古算径细草》及焦循《加减乘除
释》两书所写的序。其余如关于音律的“乐律逢源”，关于经解的“千乘
之国解”、“书尧典敬致解”，关于记赞天文仪器的“一方仪铭”、“多
漏铭”，关于音韵学的“三声论”、“七音论”，也都具有较高的学术价
值。
汪莱才高志大，因此行为举止颇近狂放，这在青年时代表现尤为突出。
他的挚友江玉自号近迂子，汪莱赠诗称他：“才过八斗何卓荣，胸罗五车
犹下学。著书非孔复非庄，行己不清亦不浊。我亦乡闾肆志人，感子车裘
义非薄。。。兴来大叫鬼神惊，各陈悲壮泪纵横。仲尼尘埃子渊夭，茫茫
大道将奚寻？且于风潇雨晦常相忆，看取高山石上青松质。”从中也可看
出汪莱自己的志向与情趣。他在30 岁那年赴乡试不第，自云“抱璞而泣”。
其得意门生夏■描述他的外貌为“长身玉立，须眉秀发”；描绘他的气质
为“性喜饮，酒酣耳热，平生■磊不平之气，往往慷慨悲歌，声音激越。”
汪莱是一个多才多艺的学者。除了数学和天文外，他也精通经史、释
老、音韵、乐律、金石、训诂。他曾著有《十三经注疏正误》、《说文声
类》等书，可惜都未能传下来。在石埭任上时，他闻知乡间老媪掘得两件
铭文汉釜，遂以有限的薪俸加以收购珍藏。他死后，家人数度靠典当这两
件铜器维持生计。与大多数的封建社会士子一样，他在事业和生活都不顺
遂的情况下，也会产生遁世的幻想，就是在“抱璞而泣”的那一年，他写
了一部“天地万物为灰为不净经”，经文中当然绝无“■磊不平之气”了。
他为焦循《加减乘除释》所写的序文则由《南华经》集萃而成，显示了一
定的佛学修养。关于汪莱的超群记忆力，许多作者都留下了记载：夏■称
他“读书过目辄记忆，《十三经注疏》几于能口举其辞”；焦循称他“天
资敏绝，性能攻坚。。目一二过，默识静会，已洞悉其本原”；罗士琳也
承认他“超异绝伦”。
然而汪莱的个人经历却是充满坎坷的。他自幼家贫，早年丧父，家中
常常无以治炊，以至以草根、树皮为食，屡次应试均未及第，最终贫病交
加，以45 岁的盛年告别了人世。在他生前，除了焦循、李锐和夏銮等少数
人外，多数学者都不能理解他的学术成就。汪莱撰成第五册算书后请张敦
仁指正，张氏不但讥为“过苦”，后来还将自己的著作《开方补记》及明
安图遗稿有意对他保密。时人并称汪莱与焦循、李锐为“谈天三友”，阮
元却以另一个学者凌廷堪来取代汪莱。第五册算书本是与江藩共同讨论后
之作，江氏却因汪莱的观点与李锐略有不合而捕风捉影地说他们“遂如寇
仇，终身不相见”，进而批评汪莱“过矣”。罗士琳指责他“矫枉过正，
未免有失之于偏”。骆腾凤根本没有理解他考定方程正根的苦心，却影射
他以“黯■之词以欺世”。种种事实表明，汪莱是被当时所谓正统的考据
学家们拒之于门外的一个“异端”。究其社会历史原因，主要有两条：一
是汪莱治学刻意求新；二是他不介意本西法言算，而这两条正有悖于当时
的风尚。
焦循应该说是最有资格评论汪莱的学者了，他说“孝婴之学深妙入
微”，“所言皆人所未言与人所不能言”，此话或许道破了汪莱不为同代
人所理解的天机。至于本西法言算，正是尊奉“西学中源”说的乾、嘉两
朝学子们的大忌，汪莱遭到冷遇甚至攻击也就不足为怪了。焦循在比较汪
莱和李锐的学术风格时有一个十分精辟的论断：“今世精九数者，推孝婴
及李尚之锐。尚之善言古人所已言，而阐发得其真；孝婴善言古人所未言，
而引申得其间。尚之精实如诗之有少陵也；孝婴超异，如诗之有太白也。”
把汪莱与诗仙李白相比，虽然不一定十分贴切，但也颇有助于说明汪莱在
科学史上的位置，他是清代中叶最富有创造精神和独立人格的一位科学
家。”
文献
原始文献
＇1＇（清）汪莱撰，夏■辑：衡斋算学，鄱阳县署刻本，1854。
＇2＇（清）汪莱撰，夏■辑：衡斋遗书，鄱阳县署刻本，1854。
＇3＇（清）胡培■：石埭儒学训导汪先生行略，抄本，汪宜楷家藏。
＇4＇（清）焦循：石埭儒学训导汪君孝婴别传，抄本，汪宜楷家藏。研
究文献
＇5＇（清）罗士琳：汪莱传论，见《畴人传续》，花雨楼刊本，1882。
＇6＇钱宝琮：汪莱衡斋算学评述，见《钱宝琮科学史论文选集》，科学
出版社，1983，第235…260 页。
＇7＇李兆华：汪莱《递兼数理》、《参两算径》略论，见吴文俊主编《中
国数学史论文集》第2 集，山东教育出版社，1986，第65…78 页。
＇8＇汪宜楷：汪莱先生年谱，徽州学学会第二届年会论文，油印本，
1986。
王清任
洪武娌
王清任字勋臣。直隶玉田（今河北玉田）人。清乾隆三十三年（1768
年）生；道光十一年（1831 年）卒。中医学。
王清任少年时尚武，曾为武庠生，纳粟得千总御。20 岁开始行医，后
到北京城开设“知一堂”药辅，一时颇负盛名。
他在学术上的成就主要有两个方面：一是对人体脏腑生理解剖的描
叙；二是对各种瘀血症的治疗。
王清任在医学上的最大特点，是十分重视人体脏腑的功能和结构。他
强调“业医诊病，当先明脏腑”，“著书不明脏腑，岂不是痴人说梦；治
病不明脏腑，何异于盲子夜行”。他认为作为一名医者，如果不明人体内
部脏腑的结构和功能，则不能
