经济数学模型化过程分析-第12部分

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和高收入家庭消费的分散度相比较，可以认为前者小于后者。下面考虑一种最重要的异方差模型。　　
Yt　=b1＋b2X2t＋ut　t=1；2；…n　（33）　
式中ut除Var（ut）=st2=s2X2t2之外，满足标准线性回归模型的其它基本假设，这里假设ut的方差为解释变量X2t的函数（有时也假设st2=s2X2t）。这是一种在实证分析中经常使用的手法。例如对截面数据的消费和收入分析时，就常常假设此种类型。亦可以说是一种经验手法。对上述模型估计的具体步骤如下：　
（33）式的两边同乘以　后得到　
=　（34）　
上述模型中　，可知变换后的误差项满足回归模型基本假设，对（34）式作回归得到满足blue性质的OLS估计量。注意到（34）式的　对　作回归等价于求　
（35）　
的最小值问题。这种方法又称为加权最小二乘法（weighted　least　squares）。　
与序列相关一样重要的是：我们怎样才知道异方差存在？对于异方差的检验来说没有像检验序列相关时d统计量那样方便可行的方法，这里可以考虑以下实用的手法。　
1）图示法　
首先按不存在异方差性的假设，对模型进行OLS估计，由于残差可以看成是误差项的一种估计，作出解释变量与残差平方的散点图，根据图形的类型来判断异方差存在与否。　
2）根据研究问题的性质　
例如研究储蓄和收入的关系时，可以认为收入高的家庭储蓄的方差高于收入低的家庭，同样研究企业的投资行为时，大企业投资支出的方差很可能比小企业的方差大，即把大中小规模的企业放在一起作抽样调查，模型中异方差性存在的可能性较大。根据经验，使用横截面数据进行计量分析与使用时间序列数据相比较，前者存在异方差的可能性要大于后者。　
当异方差存在时，模型的估计方法除了可以采用上面叙述的加权最小二乘法外，还可以采取对所研究的对象取对数后，再进行回归分析的方法，实践证明亦是回避异方差存在的一个可行的方法。　　
应用实例　
表7。2　日本国各地区储蓄和收入数据　单位（千日元）　
地区　Y（储蓄）　X（收入）　地区　Y（储蓄）　X（收入）　
北海　4349　2376　滋贺　5901　2914　
青森　3499　2032　京都　7070　2690　
岩手　3851　2096　大阪　8341　3179　
宫城　4130　2442　兵库　6158　2701　
秋田　3611　2098　奈良　5630　2174　
山形　4192　2152　和歌山　6750　2108　
福岛　4206　2386　鸟取　4847　2177　
茨城　4872　2638　岛根　4589　2142　
木　5292　2780　冈山　5584　2556　
群马　5732　2684　广岛　5839　2662　
玉　4471　2858　山口　5144　2302　
千叶　4494　2801　德岛　5870　2275　
东京　16242　4258　香川　7098　2508　
神奈川　4753　3007　爱媛　5782　2162　
新泻　5017　2377　高知　5360　2001　
富山　6585　2592　福冈　4632　2526　
石川　5865　2582　佐贺　4550　2153　
福井　6527　2400　长崎　3950　2648　
山梨　5898　2585　熊本　3886　2269　
长野　6925　2612　大分　4220　2289　
岐阜　6454　2495　宫崎　3492　2055　
静冈　5833　2899　鹿儿岛　3700　1985　
爱知　6595　3002　冲绳　3082　1892　
三重　5863　2587　　　　
资料来源：山本　拓（日）计量经济学，新世社；1995　
利用表7。2的数据，得到如下回归方程式：　
Y=…3866。05＋3。756X　（36）　
（…3。46）　（8。45）　
R2=0。614　S=1240　F（1；45）=71。5　DW=1。97　
根据上面对异方差性的分析我们怀疑上述模型的误差项之间可能存在着异方差，为此我们考虑残差平方　对Xi的回归得到：　　　
（37）　
（…4。45）　（5。23）　
R2=0。388　S=2313430　F（1；45）=27　DW=1。11　
从上述的回归结果可知，误差项之间存在着异方差性。下面我们利用本节中给出的异方差性存在时的修正方法进行估计给出以下结果：　
Y=　…2042。86＋3。014X　（38）　
（…1。85）　（6。54）　
R2=0。071　S=0。445　F（1；45）=3。41　DW=1。62　
三、多重共线性（multicollinearity）　
标准线性回归模型中假定（5）为r（X）=k；从此假定可知由解释变量矩阵X的每一列构成的向量组是线性无关的，它保证了（XTX）…1的存在性，显然这条假定不成立时，向量组线性相关，不能求出OLS估计量。这种情况称在解释变量之间存在着完全的多重共线关系。经济分析中经常遇到的不是这种极端的情形，常常是解释变量的一部分或者全部存在着高度但不是完全的共线关系的情形。例如：为考虑消费者的行动对消费函数进行计量分析时，设被解释变量为消费，解释变量为实际可支配收入和储蓄，显然我们不能排除收入和储蓄之间存在着相关关系，由于多数的经济变量具有同一方向变动的倾向，这也造成了在经济模型中常常出现多重共线的现象。　　
多重共线性存在对模型估计的影响主要表现在以下三个方面：　
1）估计值可能有很大的方差，使得估计的可信度低下。　
2）估计值缺少稳定性，即对数据的极小变化和解释变量的增减，估计值都有很大变化。　
3）虽然有较高的决定系数，但是估计系数的t值在统计上很少显著。　
和其它不满足基本假设的情况一样，我们主要关心的是如何判断多重共线性的存在与否。在各种计量经济学中的专著和论文中，人们已经给出了多种的判断多重共线性存在的方法，但是应当指出的是很难找到一个统一的严格的判断准则。这里只给出一个用解释变量之间的决定系数判断多重共线性的尺度，定义如下：　
（39）　
其中　为第i个解释变量关于其余的解释变量作回归的决定系数，VIF（bi）称之为bi的方差扩大因子（variance…inflation　factor：VIF）。根据经验通常当VIF（bi）》10（　》0。9）时，认为Xi和其余的解释变量之间存在着共线关系。　
多重共线关系存在时，找到一个确切的处理方法是困难的，这里只介绍一些简单实用的方法。　　
1）增加样本的信息　
例如对消费函数的分析，选择年度数据进行回归利用上面的判断尺度，发现了多重共线性，此时可以把年度数据换成季度数据再进行回归，通常会减少解释变量之间的相关关系。　
2）对数据进行变换　
例如对变量取对数后，再做回归通常会减少变量间的共线性，并增加参数估计的稳定性。也可以采用对模型中的变量一阶差分后，再进行回归的方法。　
3）对模型不做任何调整　
对模型进行估计后，发现参数估计值的符号大小都不和经济理论矛盾，其对应的t值在统计上显著，决定系数也很高，在这种情况下即使VIF很大，也没有必要对模型采取任何修正措施。对于多重共线性的处理对策，还存在其它一些方法，已超出本书的范围，故给予省略。由于不存在根本的解决方法，所以说即使是现在，多重共线性也是多元回归分析中使人感到最困难的问题之一。　
应用实例　
对于回归估计（19）式　
C=…8。894＋0。4839Y/CP＋0。5064C（…1）　…　9。683R　…　295。4D1　　
我们计算上式中系数所对应的VIF得到　
VIF（b2）=81。9；　VIF（b3）　=83。9；　VIF（b4）=1。28　
根据多重共线性判断尺度，可以认为解释变量之间存在着高度的共线关系。但是，注意到模型中各参数符号及大小和经济理论相一致，同时参数估计的t值在统计上有意义，R2很高。在这种情况下，不用过多考虑多重共线性的存在，我们对方程可以不做任何修改。　
§7。3　回归分析的一些新发展　
近年非平稳时间序列的估计方法、模型选择理论、长期均衡关系的分析方法都取得了飞速的发展。这些方法被应用于消费理论景气循环理论货币需求等领域，成为宏观经济学分析研究中不可缺少的手法。下面简单介绍一下主要的结果。　
一、非平稳时间序列和假回归现象　
考虑回归模型　
Yt=jYt…1＋ut　（40）　
式中ut满足模型（3）中假设的1）、2）、3）和6）。当j