经济数学模型化过程分析-第15部分

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享受物品或劳务中所得到的满足叫作效用。偏好决定了人们为什么做甲事而不做乙事。即甲f乙。〃f〃在数学里称为序。效用可以是不道德的，甚至是负效用。如果享用第i个单位的某物品或劳务的效用记作mui，则有　
mu1　》　mu2　》…》　
这就是边际效用递减规律。假如市场上有n种商品，某代理人的效用值用函数表达成　　
u=u（x1；x2；…xn）　
则应有　　　
若代理人的收入为I，市场价格p=（p1，p2，…，pn）T；则他一定追求效用最大。行为由模型　
maxu（x1；x2；…xn）　
s。t。　pTx　￡　I　
表示。方程pTx　=　I称为选择预算线。如果代理人的钱财不是数不胜数，不等式约束等价于等式约束。假设上述模型的最优解为　　　
则得到n个需求函数　
xi　=　xi　（p1，…，pn；I）　
如果固定pj；　j1i；　1￡　j￡　n和I，就得到商品i的需求曲线　
xi　=　xi　（pi）　
特定的　下，　称为价格水平，若新的价格为p*，且　
p*T　》　pTx　
则称发生了通货膨胀。价格指数　和通货膨胀率P分别为　　　
这时，代理人的真实收入Ir变化了　
Ir　=　I*/　　
其中I*是新收入。这时代理人的行为会发生变化，依据是　
max　u（x1；x2；…xn）　
s。t。　p*Tx　￡　I*　
的最优解x*变了。显然，如果价格和收入同步增长，则x*=　。假设相对价格或价格比率为　　　
价格p变化到p*且收入不变。则经济学家认为需求变化是两种效应共同作用的结果，它们是　
1）收入效应：由价格变化引起某商品i的供给者的真实收入下降，从而使需求发生的变化的效应；　
2）替代效应：由于相对价格Pij的变化，引起需求变化的效应。　
Max　u（x1；x2；…xn）　
s。t。　p*x　￡　I　
x　3　0　
的最优解为　，则　的变化表示替代效应。若　
max　u（x1；x2；…xn）　
s。t。　p*Tx　￡　p*T　，x　3　0　
的最优解为　，则　的变化表示收入效应。但是经济学家们的观点也不一致。希克斯（Hicks；1946）则主张保持实际收入不变指的是新的预算超平面的法向量仍取p*，但与以前一样的无差异曲面　
u（x1；x2；…xn）=　　
相切。即模型　
？u（x）=p*　
u（x）=u（　）　
p*x=u（　）　
的解为　，则　表示替代效应。　表示收入效应。无论　如何变化到　，价格起了核心作用。我们把　的差异留给读者思考。　
价格是市场上最积极的因素，它是如何确定的呢？按规范的经济学观点，市场经济中需求和供给确定相对价格；相对于物品流动的货币量决定绝对价格。我们姑且承认这些理论，从而面临的任务是找出供给函数。　　
企业是经济中的供给单位，由于资本、劳力、技术、管理等因素的差异，企业的生产能力有所不同。假设某企业的生产函数为　
y=f（x1；x2；…xn）　
其中y是产出，x=（x1，…，xn）是投入。生产函数一般是相对稳定的，数学性质多为一阶正齐次函数。假如投入的价格分别为p1，…，pn，则成本函数为　
c（x）=　pTx　
在市场经济的条件下，企业追逐最大利润，在客观上要求企业内部对投入进行最佳组合，即在费用一定的情况下尽可能多生产出产品来。模型　
max　｜（x）　
s。t。　pTx　￡　c　
x　3　0　
说明了企业的行为，其中pTx￡c是成本预算约束，一般可改为等式。从优化模型中解出的　
x=x（p1；p2…；pn；c）　
称为对投入的需求分配，将其代入生产函数后，得到　
y=f＇x（p1；p2；…pn；c）＇　
解其关于c的反函数，即生产成本函数，　
c=c（p1；p2…；pn；y）　
再固定投入价格p，就得到生产成本曲线　
c=c（y）　
在生产成本中，随着产出量的变动而变动的部分叫做变动成本，不随着产出量的变动而变动的部分叫固定成本。它们分别是（或等于）c（0）和c（y）…c（0）。设产出的价格为p0，则利润为　
P=p0y－c（y）　
将P极大化解出最佳产出量　，这时边际收益MR等于边际成本MC，即　　　
解出　　　
或反解成　
y=y（p0）　
这正是企业的供给曲线。换言之，边际成本曲线就是供给曲线。产出y也是市场上的商品，那么我们对某种商品得出其需求曲线D=D（p0）和供给曲线S=S（p0）后，就可以由模型　　　
确定该商品的均衡价格p0*和均衡量Q*=D*=S*。关于竞争的市场经济中，需求方程和供给方程最重要的一点不是它们能确定相对价格和产出量，而是价格和产出被确定的方式。　
企业对某种投入的需求也可以从模型中得到解释，生产函数y=f（x1；x2；…xn）的偏导数　的经济含意是该投入的边际产出率，那么如果　
》pi　
则表示增加投入Dxi带来的收益p0Dy大于费用的增加piDxi，于是企业增加投入xi。因为边际产出率递减，所以当　
=pi　
时，企业停止投入xi。　
如果某市场上出现垄断，这时产出仍由边际收益和边际成本的交点确定，但是价格由产出代入需求函数而定。即由　　　
解出y*，再由　
y*=y（p0）　
解出p0*。　
最后，对整个市场经济体系而言，若其产出为x1，…，xn，由一切产出的可能组合应构成一个生产可能性集合R，全社会的福利由效用函数U（x1，…，xn）表示，则一般来说，R是凸集，且U（x1，…，xn）是凹函数。R的外点构成的曲面叫作生产转换曲面。在最优解点上，生产转换曲面的梯度应和全社会无差异曲面的梯度一致。而梯度的分量恰好是相对价格的负值。我们把这些模型留给读者思考。　附录1　
（16。1）　
将（4）代入（3）　
将上式代入（16。1）　　
（16。2）　
由于i￠=q，则由（1）　
（16。3）　
由（16。2）及（16。3）得　　　　　
附录2　
我们首先介绍赫斯定理，它是研究一维系统的运动稳定性的基础。在此之前，我们引进两个引理＇6＇：　
引理1　考虑方程　
w=cew　（1）　
位于w的上半平面的根。　
（i）当c》0，在每一带形区域　
2kp