经济数学模型化过程分析-第3部分

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间为基本单位的绝对单位制（System　of　Absolute　Units）推导出来。除基本单位之外，任何其他物理单位均称导出单位（Derived　Unit）。如果q，j，y，…为基本单位，a为导出单位，根据定义或定律导出单位a可以表示成　
a　=　c　q　jm　yn…　
的形式，其中c，　，m，n，…是常数。则称指数　，m，n，…为a的量纲，量纲公式记作　
＇a　＇=＇q　jm　yn　…＇　
其中〃＇　＇〃读作〃…的量纲〃。对于一般的模型化问题，无法建立适用于一切原型的单位制，但是对具体的模型化问题，的确可以提供一个〃单位制〃。我们仍称被推导出的单位为导出单位，沿用一切物理学的名称。　
量纲分析方法可以从单一的前提条件，对某一现象推断得出有价值的信息，而该现象可以由某些变量中的一个有量纲的、恰当的方程来描述。量纲分析可用于设计比例模型，处理如何按比例调节系统的参数，使之能根据模型预测未来。量纲分析还可以使变量按有意义的方式进行组合，从而减少变量的数目对有关数据的需求。量纲分析的主要依据是白金汉（Buckingham）的P定理以及相似定律（Law　of　Similitude）。我们首先介绍P定理。　
P定理：假设有n个物理量a1，a2，…，an和m个基本量的量纲单位b1，b2，…，bm，如果关系式　
f（a1，…，an）　=　0　
的成立与基本量的单位无关，则总可以转化成为　
F（P1，…，Pn－m）　=　0　
其中P1，…，Pn－m是无量纲量群，形式为　　　
这里F为某一函数。　
我们回想一下代数学中的结论：线性空间中的一组基可以将任一向量线性表出；任一组向量亦可选出基向量。P定理的使用方法与基的扩充方法相似，首先从导出量a1，…，an中选择能包含全部基本量纲的m个导出量。不妨设a1，…，am的量纲中含有b1，…，bm，则可用剩下的n－m个导出量构造无量纲量群。我们设　
，i=1；…n…m　
其中hij是待定参数i=1；…n…m，j=1；…；m。由于a1，…，an的量纲单位是从b1，…，bm导出，故有　
，j=1；…；n　
其ajk是aj的量纲，k=1；…；m。利用前式可得　　　
因Pi是无量纲的，故令　
，k=1；…；m　
如此得到的m（n…m）个方程恰好确定所有的待定系数hij，i=1；…n…m，j=1；…；m。这个方法不仅给出了扩充的步骤，而且给出了一个构造性证明。　
【例2。2。1】万有引力模型　
牛顿的万有引力定律告诉我们：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。模型为　　　
式中F是万有引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两物体的质量，r是两物体间的距离。假设基本的物理量是质量M，长度L和时间T，我们来分析一下万有引力模型的量纲。显然，　
＇F＇=MLT…2　
＇m1＇=＇m2＇=M　
＇r＇=L　
＇G＇=M…1　L3　T…2　
设a1　=F，a2　=m1，a3　=m2，a4　=r，a5　=G则系数矩阵为　　　
选择a1，a2，a4为基，则　　　
于是我们得到　
h11＋h12＋1=0　
h11　＋h13　=0　
－2　h11　=0　
和　
h21＋h22－1=0　
h21＋h23＋3=0　
－2　h21－2=0　
从中解出　　　
无量纲量群　　　
由P定理可知，必可转化为　
F（P1，P2）=0　
事实上，稍加观察就有　
P1　P2　－1=0　
这是万有引力模型。请注意，如果我们考虑的体系中有这五个物理量，则可以纯形式地导出万有引力模型。当然，难点在于把G考虑在内的物理直觉。　
【例2。2。2】流体实验　
我们这次从经典的实例出发，讨论量纲分析的应用。原型问题是几何形状相似的物体在不可压缩粘性流体中的阻力问题。这种阻力是由于流体沿物体表面流动而产生的。我们记f为阻力，物体相对流体的速度为V，流体的密度为r，特征长度为ｌ，粘滞系数为m（注：m是粘滞摩擦阻力和该物体的速度梯度之比例系数）。仍以绝对单位制为基本单位制，则五个物理量，量纲单位分别是MLT…2，LT…1，ML…3，L和ML…1T…1。与例2。2。1相仿，可以得到　　　
考察其物理意义可知：P1表示粘滞力与惯性力之比；P2表示阻力对流体在该物体正面投影面积上的作用力之比。　称为雷诺数（Reynolds　Number），层流时其值较小，湍流时其值较大。如果我们的原型是湍流中的阻力，则应对R足够大的情况设计实验和分析。这样一来试验变得更为合理和有效了。　
【例2。2。2】中　就是一个数学模型！我们希望了解阻力如何因速度变化而变化时，注意到另外三个物理量如何变化，则需要相应地做许多次实验。量纲分析法使我们科学地减少了实验次数和测量数。但是，量纲分析并不是一种机械的方法，变量的选择依赖于洞察力和判断力，因为一旦包含无关的量或多删了必需的量就会导致谬误。　
综上所述，与其说量纲分析是一种工具，不如说是一个过程。首先要对原型中有关变量和常数进行识别，选择系统的主要候选变量及其量纲；其次是运用某些方法，如扩充法、P定理等解出无量纲量群；再次是对无量纲量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断；最后建立成数学模型以拟合原型，达到对原型体系的认识，简化实验设计，数据收集和数值计算的目的。　
相似定律是许多物理实验的依据。该定律认为：两个同类的物理系统的Pi值如果相同，则它们的物理状态亦相似。因此Pi值相同的模型实验的结果可以用来推测原型。由于物理量成立的关系式是对基本（运动）方程进行数学运算得到的，所以关系式中出现的数值系数的数量级多为1。因此，相反地，在几个量间进行量纲分析时，如果根据实验结果所决定的系数值不是过大或过小，则可断定在这几个量之间可能存在相关性。　
最后强调几点：　
1。　量纲分析的基本方法没有固定的形式与结构；　
2。　变量和常数的正确选择常常依赖于建模者良好的直觉；　
3。　假说是十分必要的，不可太机械地利用量纲分析法；　
4。　P定理有双重含义：其一是存在一组无量纲量群，其二是如果主要变量或量纲数为m，导出变量数为n，则其必要的独立无量纲量群的数目为n…m；　
5。　量纲和单位之间有差别，我们要保持单位的相容性和量纲的一致性；　
6。　无量纲量群是组建模型的砖石。　
§2。2　数学模型的性质应用条件及评价准则　　
数学模型是抽象模型中应用最为广泛的一类，它除具有一般模型的性能外，还有其独特的性质与功能，这就是数学模型日益渗透各个领域的原因。数学模型是借助抽象的数学语言来表述、分析和研究原型的数量的关系及量变规律的。由于数学本身的高度抽象性使数学模型不可避免地具有一定的抽象性，数学模型可以简化复杂的问题，提取关键的性质，使人们看到原型的本质，另一方面，数学模型有其具体的、确定的客观原型，它是原型的反映，故数学模型又有一定的现实性，这两重性使数学模型得以广泛应用于自然科学和社会科学。众所周知，数学是一个自封闭的、严谨的逻辑系统，因此受制约的数学模型必然具有严格的逻辑关系。如果数学模型是正确的，那么，由其推导出的结果也必然是正确的，这是其它模型所不能比拟的。　
数学模型与其它模型的不同之处还在于它有坚实的理论基础和有效的实现手段，理论基础是指数学理论的支持，从最基本的概念、定义或公理出发，经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统，有许多可利用的定理、方法和结论。实现手段是指计算机的普及为数学模型的应用奠定的物质基础。如果说，运用数学模型是一种科学成功的标志，那么，这种科学的完善的方式就是运用数学模型。　　
由于现实世界的任何事物都具有一定的数量关系和空间形式，因此，原则上说，数学模型可以研究任何原型。当然，数学模型的应用，也受一定条件的制约，有其应用的范围。Rosenblueth和Wiene　（1945）曾对物理模型的实用性给出充分必要条件：　
1。　在不熟悉或不太熟悉的领域（原型〃空间〃）里的一个现象必须被（更）熟悉的领域（模型〃空间〃）里的一个现象所代替。　
2。　模型化实验必须在比原型实验更有利的条件（包括费用、时间等）下进行。　
这两个条件对于数学模型在经济中的应用也是有启发的。　
数学模型在经济中的应用是很广的，从应用的目的归纳大致包括四个方面：　　
1。　观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势；　
2。　规划和设计经济的现实与未来；　
3。　分析和控制经济的运动与规模；　
4。　研究和解释经济现象及规律。　
具体地说，数学模型是为了增加经济效益，降低经济消耗，合理地利用现有的资源等等。经济上需用模型的原因还在于人们往往不能或无法直接驾驭经济现实，所以借助数学模型是必然的。　
数学模型可以用于研究许多经济问题，但这并不意味数学模型可无条件地应用，应用数学模型的必要条件是：　
（1）经济原形（EP）可以映射到数学〃空间〃　
此条件包括：EP的有关概念定义明确；EP的经济假说具有一定的科学性；在数学〃空间〃里存在着与假说的数量关系、逻辑关系或混合关系〃同构〃的数学关系式；可以通过必要的推导或证明得出有意义的数学结构；所需要的EP信息必须能够收悉，并可处理和转化成为模型的参数。　
（2）数学模型在数学〃空间〃中可以研究　
此条件包括：研究数学模型的数学理论与方法是完备的；数学模型必须满足一定的数学性质（如可解性、稳定性、可计算性等等）；结果必须能从数学上验证其正确与否。必要时，可以在计算机上实现。　
（3）数学模型及其结果可以映射回经济〃空间〃　
此条件包括：数学模型及其结果有一定的经济解释，可以验证经济假说或可以用经济实践检验。即数学模型及其结果可以用于指导经济工作。　
如果上述三个条件不能满足时，不宜使用数学模型。　
对经济原型的多种的希望使评价模型的准则也是多种多样的，人们总是希望在众多的〃可行的〃模型之中寻找一个最佳的模型，一般说来，合格的数学模型应当具有下列性质：　
（1）真实性或现实性：如果一个模型客观地反映了原型或子原型的量与量的关系，则称此模型具有真实性或现实性。　
（2）一般性或普遍性：如果模型的数学结构能够用于许多其它原型，则称此模型为异原模型，具有一般性或普遍性。　
（3）简洁性：如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍弃次要的矛盾和特征，则称模型具有简洁性。　
（4）精确性：如果模型能够在一定程度上，比较准确地刻划原型数量方面的特征，则称模型具有精确性。　
（5）有效性：如果模型可以多方面地从不同的角度刻划经济原型或可以派生出较多的信息，而且具有多种功能，则称模型具有有效性。　
这些准则并非一定之规，使用时可以权衡利弊，有所取舍。　
模型化与模型是密切联系的，除模型化所得到的模型有上述性质外，模型化本身应满足以下的要求：　
1。　可行性：可行性包括：信息可采集、可转化、模型可构造、算法可实现、假说可验证、结果可解释等等。　　
2。　经济性：模型化的过程中有一定的消耗，其中包括调查情况、收集资料、处理信息、构造模型、计算、分析、验证等等过程中的费用。模型化的收益与费用应当相称，经济性要求对模型化的规模和复杂程度加以控制。　
3。　实用性：经济数学模型化贵在有实用价值，这里包括模型化过程所需的时间短、经济实践中使用方便、可靠。　
值得指出，模型化的要求对模型的选取也有一定的参考价值。　
§2。3　数学模型的分类　
下面讨论一下数学模型的分类问题，这对于正确地构造模型和使用模型都是有益的。下面叙述几种分类方式。　
（一）按模型的数学性质分类　
按数学模型的性状大致可分为三类。其一为确定性模型，其原型具有相对地确定性或必然性，原型的各种关系相对稳定明确，模型的数学结构多为各种方程式，点集映射关系式和图式。其二为随机性模型，其原型具有随机性或偶然性，原型的某些关系是波动的和不肯定的。模型的数学背景理论是概率论、随机过程、数理统计、多元分析、和鞅论等等。其三是模糊性模型，其原型及其关系具有模糊性或不分明，其处理方式是Fuzzy子集理论、信度理论、证据理论和Fuzzy逻辑等等。　
按数学模型的各种变量、参量和函数结构的变动情况，可以把模型分为连续型模型，非连续性模型和离散性模型。连续性模型对于任何量或关系的微小摄动是相对稳定的；非连续性模型对某些量或关系的变化是间断的，有跳跃的；离散性模型则多指其变量是可列点列构成的。　
根据模型的参量可以分为固定参数（fixed…parameter）模型和自适应参数（adaptive…parameter）模型，前者在模型化过程中所涉及的参数只需给定一次，而后者则随着原型的变化而进行必要的调整，这时参数往往属于一个参数集合或空间。　
（二）按模型与时间的关系分类：　
亦可分为三类。首先，若模型的行为随时间而变化而且时间是独立的变量，则称为动态模型，其原型和时间关系密切（有时也称随阶段变化的模型为动态模型）。其次，若模型的行为不随时间而变化（时间可以是参量），则称之为稳态模型。其原型对时间的变化相对稳定。另外，若一非稳态的原型用一系列静态模型来表示，则称此系列模型为拟稳态模型。其原型是动态的，而这一系列模型中每一个模型是稳态的。如果细分，动态模型还可分瞬时模型（instantaneous）和记忆模型（memory）。前者在任意给定的瞬刻的行为只取决于此刻的环境或因素；而后者在任意给定的瞬刻的性态可能依赖此刻之前的一段时间的历史环境或因素。记忆模型还可以分为两种：其一，独立于此刻自身的行为而此刻之前的一段固定的有限时间称为定时距（time　invariant）模型，其二，在现在任一瞬