投资中的数学问题-第2部分

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购的做法，但这里巴菲特说“我的职责是分析这些
　　（已宣布并购）事件实际发生的概率，并计算益损比率。”让我们先来看看下面这个例子，然后再继续聆听巴菲特的教诲。假设阿伯特公司（Abbott　pany）　今天的开盘价为每股1　8美元。在上午过半的时候，它宣布今年的某个时候—可能在6个月内，它将以每股3　0美元的价格卖给科斯特洛公司（Costello　pany）。阿伯特公司的股价马上抬至每股2　7美元，并在这个价位上走稳徘徊。
　　巴菲特看到了宣布合并的消息并且必须做出决断。首先他试图分析消息的确定性。有些企业合并的买卖并未能最终实现。董事会可能会出人预料地拒绝合并，或者美国联邦贸易委员会
　　（Federal　Trade　mission）会也发出反对的声音。没有人能够十分有把握地说这笔风险套购交易将最终实现。这就是风险所在。
　　巴菲特的决策过程就是运用主观概率的方法。他说：“如果我认为这个事件有9　0％的可能性发生，它的上扬幅度就是3美元，同时它就有1　0％的可能性不发生，它下挫的幅度是9美
　　元。用预期收益的2　。　7美元减去预期亏损的0　。　9美元就得出1　。　8美元（　3×9　0％…9×1　0％=　1　。　8　）的数学预期收益。”下一步，巴菲特请你必须考虑时间跨度，并将这笔投资的
　　收益与其他可行的投资回报相比较。如果你以每股2　7美元的价格购买阿伯特公司，按照巴菲特的计算，潜在收益率为6　。　6％（　1　。　8美元除以2　7美元）。如果交易有望在6个月内实现，那么投资的年收益率就是1　3　。　2％。巴菲特将以这个风险套购收益率与其他风险投资收益进行比较。
　　风险套购交易是具有亏损风险的。“我们愿意在某些交易中亏本—比如风险套汇—但是当一系列类型相似但彼此独立的事件有亏本预期概率时，我们是不情愿进入这类交易的。”巴
　　菲特坦言道：“我们希望进入那些概率计算准确性高的交易。”我们可以清楚地看出巴菲特对风险套购预测采用的主观概率法。在风险套购中没有频数分布，每笔交易都是不同的，每
　　次情况都要求不同的预测判断。既便如此，使用一些数学运算对风险套购交易的运作还是大有益处的。对风险套购的决策过程与普通股票投资的决策过程并无异处。为了说明普通股的决策过程，让我们来看看伯克谢尔·海舍威公司对两支经典普通股票的购入—韦尔斯·法戈（　We　l　l　s　F　a　rgo）　和可口可乐。
　　投资于韦尔斯·法戈和可口可乐公司
　　1　9　9　0年1　0月，伯克谢尔·海舍威公司购买了5　0　0万股韦尔斯·法戈公司的股票，共投资2　。　8　7亿美元，每股的平均价格为5　7　。　8　8美元。这笔交易使伯克谢尔成为这家银行的最大股东，拥有已发行股票的1　0％。公司的这一举动是颇具争议的。在年初的时候，股价曾攀升至8　6美元，尔后随着投资者的大批抛盘，这家加利福尼亚银行的股票急骤下跌。适时西海岸正处于严峻的经济衰退的痛苦之中，有些人预测由于银行的贷款资金都被住宅抵押所充斥，故一定困难重重。韦尔斯·法戈是加利福尼亚地区银行中拥有最多商业不动产的银行，它被认为最不堪一击。巴菲特对上述情况了如指掌，但是他对韦尔斯·法戈得出了不同的结论。他是否比其他投资专业人士掌握更多的情况？非也，他只是对局势的分析有所不同。让我们与他共同回顾他的思维过程以便使我们对巴菲特如何应用概率论有一个清楚的例证。
　　首先，巴菲特对银行业的业务非常了解。伯克谢尔曾在1　9　6　9　~　1　9　7　9年间拥有伊利诺伊国家银行和信托公司（　I　l　l　i　n　o　i　s　National　Bank　and　Trust　pany）。在那段时期里，伊利诺伊国家银行的总裁吉尼·阿贝格（Gene　Abegg）　教会了巴菲特一个道理：一家妥善经营的银行不仅可以使它的收益有所增长，而且还可以得到可观的资产回报。更重要的一点是，巴菲特了解到一家银行的长期价值取决于它管理层的行动。糟糕的管理者不但会使银行的运营成本增加而且还会贷错款。而优秀的管理者总是在寻求降低成本的方式，而且他们很少做有风险的贷款。
　　韦尔斯·法戈银行当时的总裁是卡尔·理查特（Carl　Reicha　r　d　t　）。他从1　9　8　3年开始经营这家银行，成绩显著。在他的领导下，银行的收益增长率以及资产回报率均高于平均值，而且他们的运营效率是全国最高的。理查特还建立起坚实的放款业务。
　　巴菲特说：“拥有一家银行绝非是无风险的。”但是在他的脑中，拥有韦尔斯·法戈的风险主要围绕以下三方面的可能性。
　　下载“加利福尼亚的银行面临大地震的具体风险。这一风险可能完全摧毁借款者进而摧毁贷款给他们的银行。第二种风险是全局性的—发生企业萎缩或者金融恐慌的可能性，这种恐慌是如此之强烈以至于殃及所有高度借贷的机构，不论这家机构的经营如何也不能幸免。
　　目前市场的主要恐惧在于，由于建设过度，西海岸的不动产价值会下跌，并将这个损失转嫁给融资给他们的银行。巴菲特说，目前上述场景哪一种都不可能被排除在外。然而他得出结论说，基于最好的证据，发生地震和金融恐慌的概率都极低。（巴菲特没有给出具体数据，但低概率可能是低于1　0％的概率。）
　　然后他将注意力转向第三种场景的概率。他分析认为，不动产价值的下跌不应对妥善经营的韦尔斯·　法戈银行产生太大的问题。巴菲特解释说：“考虑一下具体数字吧。韦尔斯·
　　法戈目前税前的年收益在扣除贷款损失的3亿美元之后，仍超过1　0亿美元。如果银行全部4　8　0亿贷款的1　0％—不只是不动产贷款—遭受像1　9　9　1年那样的重创，而且产生损失（包括前期利息损失），平均损失量为本金的3　0％，公司仍能保本不亏。”然而要知道，银行放贷业务的1　0％遭受损失就等于企业遭受了严重的经济萎缩，这种情况已被巴菲特排在“低”概率一档之中了。但是，即使这种事情真的发生了，银行仍能保本。巴菲特继续说：“如此糟糕的一个结局—我们认为发生的概率很低，似乎不可能—也不会使我们沮丧。”在巴菲特脑中罗列出的这几种场景，哪一种对韦尔斯·法戈产生长久重大损失的概率都很低。尽管如此，市场仍将韦尔斯的股价打压了5　0％。在巴菲特的头脑中，购买韦尔斯·法戈的股票赚钱的机会是2∶1，相对犯错误的可能性只会减少不会增加。
　　尽管巴菲特对其概率判断没有给出具体数字，但这并不能减弱他思考过程的价值。用概率来思考，不管是主观概率还是客观概率，都使你对所要购入的股票进行清醒和理智的思索。
　　巴菲特对韦尔斯·法戈的理性思考使得他能够采取行动并从中获利，而其他人的思维则欠清晰。巴菲特说：“请记住，如果你用概率权重来衡量你的收益，而用比较权重来衡量你的亏损，并由此相信你的收益大大超过你的亏损，那么你可能刻意地进行了一桩风险投资。”
　　可口可乐股票的购入则是另一回事。如果韦尔斯·法戈的购入让我们看到巴菲特是如何亮出各种场景并对他们逐一进行概率判断的，可口可乐交易则让我们看到，当他认为概率是百
　　分之百肯定时，他是如何做的。在可口可乐实例中，我们看到巴菲特是如何实施他的指导原则之一的：当成功的概率非常高时，押大赌注。巴菲特在购入可口可乐股票时，并未使用贝叶斯分析法。相反，他经常说可口可乐代表着几乎肯定的成功概率。因为可口可乐有着1　0　0多年的投资业绩数据可查，这些数据构成了一幅频数分布图。运用贝叶斯分析程序加上后序信息，巴菲特了解到以罗伯托·格佐艾塔（Roberto　Goizueta）为首的管理层所做的事情与前面有所不同。格佐艾塔正在卖掉营业业绩欠佳的企业，并将收入所得重新投向业绩良好的糖浆企业。巴菲特知道可口可乐的财政收益将会好转。不仅如此，格佐艾塔还在买回可口可乐的股票，从而进一步增加了企业的经济价值。自1　9　8　8年起巴菲特就注意到，市场上对可口可乐的定价比其实际的内在价值低了5　0％~　7　0％。与此同时，他对公司的信念从未改变过：他坚信可口可乐股击败市场收益率的概率正在不断地上升、上升再上升。那么巴菲特是怎么做的呢？在1　9　8　8　~　1　9　9　8年间伯克谢尔·海舍威公司总共购买了可口可乐公司1　0亿美元的股票，占据了伯克谢尔证券投资总值的3　0％以上。到1　9　9　8年底这笔投资价值1　3　0亿美元。
　　凯利优化模式
　　每次踏入赌场，你成为赢家踏出赌场的概率都极低。对此你不用感到惊讶，我们都知道庄家有最佳的机会。但是有一种游戏，如果玩法正确可以给你合理的机会打败庄家—2　1点。
　　在一本全球畅销书《打败庄家：　2　1点游戏的获胜战略》（B　e　a　t　the　Dealer：　A　Winning　Strategy　for　the　Game　of　Tw　e　n　t　y　…　o　n　e）　中，爱德华·桑波（Adward　O。　Thorp），一位训练有素的数学家列举了智胜赌场的程序。
　　桑波的战略是基于一个很简单的概念。当一副牌里有很多1　0、大于1　0的头像牌及A时，玩家—也就是你—就占有打败庄家的统计优势。如果你给高分值牌分配…　1，低分值牌分配＋　1，你很容易对所发出的牌进行跟踪；你只需保持在脑中记数，每出现一张牌，就增加一分或减去一分。当你数的数转成正数时，你知道有更多的高分值牌即将出现。聪明的玩家将他们的
　　最大赌注押在牌点数达到相对较高的数值上。深藏于桑波书中的原理是对凯利赌博模式的引用。而凯利赌博模式的灵感则源于克劳德·山奴（Claude　Shannon）—信息理论的创始人。
　　克劳德·山奴是4　0年代贝尔实验室的一位数学家。他工作的多半时间花费在试图找到一种最理想的通过铜线来传输信息的方法，而此信息又不会受到不规则分子噪音的干扰。1　9　4　8年____在一篇题为“通信的数学原理”的文章中，他描述了他的发现。文章给出了如何将最大量的信息通过铜制电线传输的数学公式，公式考虑到信息传输的成功概率。
　　几年后，另一位数学家凯利（J。　L。　Kelly）　读了这篇文章，发现它的数学公式完全可以被用在赌博上。这是人类了解成功概率的又一努力尝试。1　9　5　6年凯利发表了“对信息率的新理解”一文。文中他指出，山奴的各种信息传送率与机会成功率实际上是一回事—都是概率问题—同样的公式可以用来优化二者。
　　凯利优化模式也可称为优化增长战略。它的原理是如果你知道成功的概率，你就将你资金的一部分押上从而优化你的增长率。它的公式可表达为：2p…　1　=X你应押上的资金的百分比（X）等于2倍的获胜概率减去1。例如，如果你打败庄家的概率为5　5％，你应该押上你资金的
　　1　0％来获取你赢局的最大增长。如果打败庄家的概率为7　0％，你就押上4　0％的资金。如果你知道获胜的机会为1　0　0％，凯利模式就会告诉你押上你赌资的1　0　0％。
　　凯利模式达到最优化有两个标准：　（　1　）用最短的时间达到获胜的水平；　（　2　）取得最大的财富增长。例如两个2　1点玩家，每个都有1　000美元的赌资并将玩2　4个小时。第一位玩家受限制每手发牌只能下注1美元。第二位玩家则可依照牌的有利与不利改变赌注。如果第二位玩家使用凯利模式，每次下赌的比例都反映获胜的概率，那么在2　4小时结束时，第二位玩家有很大的可能性打败第一位玩家。股市的情况比起2　1点来当然是更加风云变幻。2　1点游戏仅有有限的牌数和有限的概率结果。而股市则拥有成百种普通股，
　　更有成百万的投资者，它的结果也几乎是不尽其数。使用凯利第6章证券投资中的数学问题模式就要不断地在投资决策过程中进行调整和计算。然而凯利模式中的主要概念：将投资规模与概率成功率通过数学挂钩，对集中投资者具有重大意义。让我们还是借用上述两个赌家赌2　4小时这个例子。这次不赌2　1点，他们改在股市上进行投资。第一位投资者限制每次只
　　能投资他资金的1％，第二位投资者则允许根据其观察的成功概率来改变投资比例。哪位投资者在固定的期限内更有可能取得最大程度的资金增长呢？是这位明知每笔股票权重机会都不等但仍在每笔交易上都押1％的投资者呢，还是那位等待高概率机会的出现然后押大赌注的集中投资者呢？巴菲特在分配伯克谢尔的投资资金时是否应用了凯利优化模式我们无据可查。但是凯利的概念是一个理智的思维过程。从我的角度看，它明白无误地反映出巴菲特的思维过程。巴菲特曾敬告投资者要耐心等待，直到最佳机会出现，然后押大赌注。在任何情况下我都发现凯利模式作为一个数学解释是非常有用的，它有助于人们更好地理解证券资金的分配过程。我相信凯利模式对集中投资者是一种有魅力的工具。但是只有那些使用得当，反应灵敏的人才会从中受益。采用剀利模式是有风险的，所以了解它的三项制约不失为明智之举。
　　第一，任何投资者，不管是否使用凯利模式，都必须放眼进行长线投资。即使2　1点的玩家已掌握了打败庄家的模式，成功也未必能在前几副牌中显现出来。对投资也是同一道理。有
　　多少次投资者已选对了投资的公司，但市场对选对的公司在最终奖励的时间上却显得不紧不慢，悠闲自得。
　　其次，对使用借贷投资一定要谨慎。借贷股市投资的危险性（证券交易的顾客保证金账户）已被本·格雷厄姆和巴菲特大肆宣传过了。如果你在顾客保证金账户上使用凯利模式，股市
　　的下跌可能迫使你放弃你的高概率赌注。
　　第三，在玩高概率游戏时的最大危险在于下赌过高的风险。如果你判断某事件的成功概