科学史(上)-第32部分
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知道物质，而且我们也只能用单位容积中的质量来作密度的定义。
在总结动力学起源的历史时，马赫指出，伽利略、惠更斯与牛156 顿在
动力学上的研究成果，实际上只意味着发现了同一条基本原理，可是由于历
史上的偶然情况（这在一个全新的学科中是不能避免的），这一条基本原理
却用许多貌似独立的定律或词句表达出来。
当两个物体互相作用，例如靠了其间的引力，或靠了一条把它们连接起
来的螺旋弹簧相互作用时，它们相互产生的反向加速度的比例是一定的，而
只决定于这两个物体中的某种东西，这种东西，如果我们愿意的话，可以叫
做质量。这个原理是靠实验建立起来的，我们可以下一个定义说：两个物体
的相对质量，是用它们的相反的加速度的反比例来量度的，而它们中间的力
就是其中任何一个物体的质量与其加速度的乘积。
这样我们可以摆脱牛顿的质量定义与力的定义中包含的逻辑上的循环论
证，而得到一个以实验为根据的简单陈述，由此可以推导出伽利略、惠更斯
和半顿的许多原理——如落体定律、惯性定律、质量的概念、力的平行四边
形，以及功与能量的等效。
通过落体的实验，伽利略发现速度与时间成正比例而增加。这样一来，
本原的关系就是：动量的憎加，可以用力与时间的乘积来量度，或mV＝ft，
即牛顿定律。假使伽利略首先发现的事实是：由加速度a 而来的速度，随经
过的距离S，按平方的关系而增加，则这种关系v2＝。。
2as（实即等于惠更斯的功与能量的方程式：fs＝
12
mv2 ，看起来就是本原的
关系了。由此才见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能
量的概念所以稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上
它们是互相关联的，任何一方都可以从他方推导出来。
再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论
证。这个方法虽然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已
经认识到，人们从肌肉用劲的感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条
道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学可以看做是把我们对于运动中的
①
Dr E。 Mach； Die Mechanik in ihrer Enwickelung；1883。
物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感觉有关一样。我们
从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地给我
们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，
将产生不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f 力的抵抗，
称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度a 的反比来度量
的。因此m＝f/a。这样，质量的观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对
于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法把心理学引到物理学中来，但
是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，却还是有一定意
义的。
在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质
量大致是一个常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格
真实的，或至少有高度准确的真实性，这样，我们就可以把质量M 当作长度
L、时间T 以外的第三个基本单位。从这个假设得来的无数推论在J．J．汤
姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高隆精确符合的。所以这个假
设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。
质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系
了。所谓重量也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。
史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1 与W，以同
样的速度落地。物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力
所生的加速度a1与a2，是相同的。根据上面所说的质量的定义，两物体的相
对质量m1与m2可用以下的关系来确定：
m1=W1/a1及m2=W2/a2；
a1=W1/m1及a2=W2/m2。
现在我们了解，任何公式的玩弄①或任何形而上学的考虑（如经院哲学由
亚里斯多德那里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史
特维纳斯和伽刊略用落体进行实验，才证明a1＝a2，是一个事实。但是，这
一点既经证明之后，从方程式所规定的质量、重量与力的定义便得：
W1W2 W1 m1
m1
=
m2
或
W2
=
m2
即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛
顿指出，这个结果要求重力必须“是从一个原因而来的，这个原因并不是按
照其所作用的质点表面的数量而起作用（机械的原因常是这样的），而是按
照物体所含的实际质量的数量起作用的”①。事实上，牛顿的天文学研究的结
果，证明重力的作用必定“贯彻到太阳的中心和行星的中心，而不丝毫减少
它的力量”。
伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地
重新进行了这个实验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠
落。他发现当铁球已落了50 呎而到地时，蜡球还差1 呎。他正确地解释这个
差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体是一样的，但对于抵抗重
① 除非这玩弄者是爱因斯坦，而已公式中含有相对性原理。而相对性原理也是根据实验建立的。马赫在此
似乎错了；他说从他的质量的定义可以得到质量与重量的比例关系，但他暗暗地引入了a1＝a2 的结果。
①
Prlnslpia， 1713 ed。pp。483—484。
量较小的蜡球更为有效②。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。他从数学上
证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根
成反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以
便它们所受的空气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装
上各种液体或谷类的颗粒。在所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的
摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是相等的。这样，牛顿就以更大的
精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来是可由伽利略的实
验推出来的。
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用
的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作
的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后159 来虽
有争执，但看来都是独立发明出来的①。变速观念的出现，要求有一种方法来
处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t 所经过的空间s 来量度；
不论s 与t 的大小如何s/t，一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么
要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间
来量度在这个时间内经过的空间。当s 与t 无限地缩小，而成为无限小时，
它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做
s 对于t 的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用
来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与
时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法
来处理。x 对于y 的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx/dy 或牛顿的记法上
②。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积
分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个
质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法③。阿基米得用了类似的方
法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失
传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微
分方程式：困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答①。有一个事实
说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，
而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式②。
在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多
② J。M，Child，上引书。
①
L。T。More，Lsaac Newton，New york，1934，p， 565 等页。
②
每个函数的微分系数之值都可计算出来，例如设y＝x 则可得dy／dx＝nxn…1。
③ 每个微分，都有一个对应的积分；因此上面所举的微分例中xn 即是对应的积分。可以证明：。 除非n 是
…1，那时积分是logx＋c。在每一例里，c 都是一个未知的常数。它在许多实际问题中，都是可以消去的。
①
举一个简单的例，方程式ydx＋xdy＝o 可以改写为于是可以分项积分，便得
②
Letter tO Flamsteed． Calalogue of the Newton MSS， Cambrige， 1888。P·xlll．
结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在
莱布尼茨和别尔努利（BernouiIli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数
学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提
出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经
叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置
表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上
价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多
的改进。
物理光学与光的理论
单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学上的头等人物③。光的
折射定律，即入射角与折射角的正弦之比为一常数，是斯内耳在1621 年所发
现的。费马则指出，按这条路径前进，通过时间最短。1666 年牛顿得到“一
个三梭镜来实验有名的色彩现象”，而且他选择了光学来做他讲课和研究的
第一个题目。他的第一篇科学论文也是讲的光学， 1672 年发表在《皇家学
会哲学杂志》上。德·拉·普敕姆（De la Pryme）在他的日记中说：1692
年牛顿往礼拜堂时，忘记了熄灯。这引起了一场火灾，把他的著作都焚毁了，
二十年的光学研究成果也在其中。但牛顿在他的书的序言中却没有提及这件
事。他说：“1675 年应皇家学会某些会员的请求，写了一篇关于光学的论
文，。。其余则是大约十二年后加入的。”
1611 年，斯帕拉特罗的大主教安托尼沃·德·多米尼斯（Antonio de
Domininis）提出一种虹霓的理论。他说山水滴内层表面反射161 出来的光，
因经过厚薄不同的水层，而显出色彩。笛卡尔提出一个更好的解释。他认为
色彩和折射率有关，并且成功地算出虹霓弯折的角度。马尔西（Marci）使白
光透过棱镜，并发现有色彩的光线不再为第二棱镜所散射。牛顿把这些实验
加以扩大，并且把有色光线综合成白光，从而澄清了这个问题。他还认为望
远镜里妨碍视线的各种色彩也是由于类似原因而产生的，并且错误地断定，
要阻止白光分散成各种色彩就必然要在同时阻止放大率所必需的折射；因而
他认为要改进当时的折射望远镜是不可能的，于是他发明了反射望远镜。
其次，他还考察了胡克描写过的肥皂泡和其他薄膜上都有的薄膜的色
彩。他把一个玻璃三棱镜压在一个已知曲率的透镜上，颜色就形成圆圈，后
来被人叫做“牛顿环”。牛顿仔细地测量了这些坏圈，并把它们一点一点地
和空气层厚度的估计数比较。他又用单色光重复了这个试验，这时只有光环
与暗环交错出现。牛顿断定每一确定颜色的光都是痉挛似地时而容易透射，
时而容易反射。如果在反射光下去看白色光所成的坏，某一在一定厚度下恰
好透射过去的颜色便不会反射到眼里，于是眼所看见的便是白色光减去这一
颜色的光，换言之即看见一种复色光。牛顿于是推断：自然物的颜色至少有
③
看Optics ， or a Treaflse of the Refliections ， Refractions，Inflectlons andColours of Light， bY Sir lsaac
Newton， Knt， London， 1704， 1717， 1 721， 1730，再看“Newton’S Work in Optics”， by E。T。
Whittaker，in lsaac Newton ed w。J． Grecnstreet，London， 1927；and in A History of Theorles of theActhcr
and Elcctrlci，E。T。Whittaker， 1910。
一部分是由于它们的微细结构的缘故，他并且算出产生这种效果所必需的大
小。
格里马耳迪（Grimaldi）的实验，证明极窄狭的光束平常虽走直线，但
遇到障碍时就沿障碍物的边角而弯曲，所以物影比其应有的形式为大，因而
形成了有颜色的边沿。牛顿重复并扩大了格里马耳迪的实验。牛顿证明让光
线通过两个刀口之间的狭缝，弯曲度就更大了。他对狭缝的宽窄和偏转的角
度都进行了仔细的观察与测量。
牛顿还考察了惠更斯所发现的光线通过冰渊石所生的异乎寻常的折射现
象。在这种矿石里，一条入射光产生了两条折射光；在把这两条光线的一条
分离出来，使它再通过另一冰洲石时，如果第二个冰洲石的结晶轴与第一个
的轴平行，这条光线仍能通过，如果152 两个冰渊石的轴恰成正交，这条光
线便不能通过。牛顿看出这些事实说明不管一
