30天让你精通博弈学-第25部分
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天为：
月 日， 月 日， 月 日；
月 日， 月 日；
月 日， 月 日；
月 日， 月 日， 月 日。
张老师把 值即月份告诉了小李，把 值即日期告诉了
小工，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗。小王说： “我
不知道 。”小李说：“本来我不知道 ，现在我知道 了。”小王说：
“现在我也知道 了。”
答案是 月 日。
根据小王的话 “我不知道”，张老师的生日不能是 月
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日和 月 日。推理如下：
从上面这 个 日期中可知，张老师的生 日的 日期为
日中的一天。其中， 日、 日、 日、 日
各出现 次： 月 日和 月 日， 月 日和 月 日，
月 日和 月 日， 月 日和 月 日；而 日和 日只
出现 次： 月 日， 月 日。
张老师告诉了小王张老师生 日的日期即 值。如果 值
为 日或 日，小王马上能够确定出张老师的生 日，因为这
两 日只有一个可能性。因此，如果他说 “知道”，表明张老师
的生 日或者是 月 日或者是 月 日。若 值为
、 日，小王无法根据他所知道的信息推得张老师的生 日，
因为这四个可能的 值都有两个具体的日期。因此，小王说
“不知道”表明张老师的生 日不可能是 月 日或者是 月
日，否则的话，他应当说 “知道”。
根据小李说的 “本来我不知道，现在我知道了”，我们得
到，张老师的生 日只能是 月 日。推理如下：
小李知道张老师生 日的月份，即他知道张老师的生 日在
四 个 月 中 的 一 个 确 定 的 月 份 。 然 而 ，
四个月中都有两个或三个可能的日期：在 月
中有 月 日、 月 日和 月 日三个可能的 日子，在
月中有 月 日、 月 日两个可能的日子，在 月中可能
的日子有 月 日、 月 日， 月中可能的日子有 月
日、 月 日、 月 日。
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虽然小李知道张老师生 日的月份，比如说他知道张老师
的生日在 月份，但是每个月份中有两个或两个以上的日子，
如 月中有 个可能的 日期： 月 日、 月 日和 月
日，小李无法知道张老师的生 日为具体的哪一天。这也是小
李说 “本来我不知道”的原因。
但是小王说 “不知道 ”排除了张老师的生 日为 “ 月
日”和 “ 月 日”的可能性。这样，张老师的生 日的可能
日期就减少了两个，而只剩下：
月 日， 月 日， 月 日；
月 日；
月 日， 月 日；
月 日， 月 日。
这也是小李所能够分析到的。
小李听到小王说 “不知道”后说 “现在我知道了”表明，
此时他能够确定具体的日子即 值。在上面 个月份中有
天，而唯有在 月份，只有一个可能的日期即 月 日 ，其
余的月份中都有两个或三个可能的日期。
若张老师的生 日在 月 、 月 、 月这三个月份，小李
是无法说他知道了张老师的生 日，张老师的生 日只能有在
月，小李才能说 “现在我知道了”。因此，小李说 “现在我知
道了”表明，张老师的生日只能在 月 ，即 月 日。
小王听到小李说 “知道”后说 “现在我也知道了”，表明
小王根据小李给他的信息也推算出了张老师的生日。
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在这个推理的过程开始，张老师生 日的可能是上述 天
中的某一天，这是双方的公共知识， 值为小李的知识，
值为小王的知识， 值和 值不是他们的公共知识。当小王
说 “不知道”张老师的生 日的之后， “张老师的生日不能是
月 日和 月 日”便是他们之间的公共知识。而当小李说
“本来我不知道，现在我知道了”之后， 月 日是张老师的
生日便成了他们之间的公共知识。
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如果一块冰淇淋蛋糕 由 “小娟和小明”两人分配，我们
还是要把博弈规则先讲清楚：第一轮 由小娟提出条件，小明
可以接受，从而游戏结束，小明也可以不接受，则游戏进入
第二轮；第二轮 由小明提出条件，小娟可以接受，从而游戏
结束，小娟也可以不接受，于是蛋糕完全融化，游戏同样结
束 。
虽然大多数人基于 “社会常识”或者说是善 良的心理，
预期一半对一半的分配方案看起来最公平，其实这个博弈却
有无穷多个纳什均衡 。事实上，假设蛋糕 的总量是 ，那么
小娟要 、小明也要 固然是一个纳什均衡，小娟要
、小明要 也是纳什均衡，甚至小娟要 、小
明只要 也是纳什均衡。最 “严酷”的，莫过于小娟要
、小明只能要 也是一个纳什均衡。反过来也一样。
我们说小娟要 、小 明只要 ，甚至小娟要
、小明什么都得不到也是纳什均衡，这只是事物的一个
方面；另一方面小明当然可以因为感到这么分配太不公平而
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生气，拒绝接受这一条件。
这看起来是非理性的，但是如果他着眼长远，希望建立或
者保持 自己作为一个不好对付的讨价还价者的形象，从而为日
后的讨价还价奠定基础，就是理性了，因为将来的讨价还价可
能是跟小娟进行，也可能是跟其他孩子进行，他们将同样得知
今天 自己的所作所为。在实际操作当中，小娟同样需要考虑到
这些问题，要向小明放出刚好足够的诱饵，比如留给他一小片
蛋糕，引诱他上钩。
但是为了使阐述过程保持简洁，我们将所有这些复杂问题
丢在一边，在一步博弈中假设小娟可以拿走她所要求的
份额。
不过，一旦出现需要第二轮谈判的情况，局势就会变化，
大大偏 向小明。现在，桌子上同样放了一个冰淇淋蛋糕，但
是两轮谈判过后，整个蛋糕就会完全融化。
这里要注意，假如在第一轮小明拒绝接受小娟提出的条
件，他随后可以提出一个反建议，不过，到那个时候，桌子
上只剩下半个蛋糕了。假如在第二轮小娟拒绝接受小明的反
建议，剩下的半个蛋糕就会融化，双方都将一无所获。
面对这个两轮的博弈，小娟现在必须向前展望她最初提
出的条件会有什么后果。她知道，如果她提出的条件太苛刻，
小明可以拒绝她的条件，从而在第二轮 占据有利地位，反过
来就剩下的半个蛋糕提出 “接受或者放弃”的分配方案，逼
迫小娟就范。这实际上意味着小明已经将那半个蛋糕握在 自
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己手里。
可见，如果小娟不能阻止这一幕发生，即如果不能阻止
博弈进入第二轮，她必将一无所获。一旦看清这一点，她会
从一开始就提出与小明平分这个蛋糕，这也是说，这个方案
刚好足够引诱对方接受而又为 自己保有一半收益。这样，他
们马上达成一致，形成约定，平分这个蛋糕。
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“分蛋糕”的讨价还价说到这里，多轮谈判博弈的基本推
理已经非常清楚，从而我们的讨论还可以再进一步发展。问
题总是在最简单的条件下先想清楚，然后向复杂的情况推广。
面对分蛋糕的多轮博弈，现在我们要么加速谈判进程，要么
延缓蛋糕融化的速度。
但是这种推广不能把实质的东西舍弃掉。分蛋糕的多轮
博弈，最富实质性的一点是，随着谈判各方每提出一个新的
建议和反建议，蛋糕都在融化。比如三轮谈判博弈，蛋糕从
一个变成 个再变成 个，直到零，最后什么也没有
剩下。
这时在第三轮轮到小娟提出最后一个建议，而蛋糕 已经
缩小到只有 ，她将可以全部拥有。小明知道这一点，所
以在第二轮轮到 自己提条件的时候许诺分给她 ，这时蛋
糕还剩下 。这么一来，小 明可 以得到的最好结果就是
个蛋糕，即剩下的 的一半。小娟知道这一点，于
是在一开始就许诺分给小明 ，这刚好足够引诱小明接
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受，从而小娟 自己得到蛋糕的
若是每次缩水 的四轮的讨价还价博弈，最后一轮将
是小明提出条件，得到这个时候桌子上剩下的 个蛋糕。
因此，小娟必须在倒数第二轮提出分给小明 个蛋糕，当
时桌子上还剩下半个蛋糕。而在此前的一轮，小明可以让小
娟接受分给她 个蛋糕的条件，这时还剩 个蛋糕。
一路这么向前推下去，我们可以知道，讨价还价一开始，小
娟就应该提出分给小明半个蛋糕，自己得到另一半。
若是五轮，小娟一开始可以提出分给小明 个蛋糕，
自己得到 。若是六步，那么分配方案又回到各得一半。
若是七步，小娟则得到 ，小明得到
在这个典型的谈判过程里，蛋糕是在缓慢缩小，而且在
全部消失之前有足够的时间让人们提出许多建议和反建议。
这表明，通常情况下，在一个漫长的多轮的讨价还价过程里，
谁第一个提出条件并不重要。几乎一半对一半的解决方案看
来还是难以避免，除非谈判长时间陷入僵持状态， “胜方”大
概什么也得不到， “败方”自然也不会更好。不错，最后一个
提出条件的人可以得到剩下的全部成果。不过，真要等到整
个谈判过程结束，大概也没剩下多少值得赢取的东西了。得
到 “全部”，而 “全部”的意思是什么也没有，就是 “赢得战
役而输掉战争”的生动例子。
我们必须看出很重要的一点：虽然我们考虑过许多可能
的建议和反建议，理性结果的关键之处却是小娟提出的第一
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个条件应该能够被对方接受，而谈判过程的后期阶段只有思
维意义，实际上从来不会发生。
不过，假如第一轮不能达成一致，这些步骤将不得不走
下去；在第一轮行动的小娟盘算怎样提出一个刚好足够引诱
对方接受的条件时，这个事实非常重要。
这个推理的启示是，上述动态博弈的所谓 “向前展望、
倒后推理”的原理，可能在整个博弈过
