聊聊狭义相对论-第12部分
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x=ct。”
“同样根据光速不变原理，虽然我在你看来以u在走猫步，但是，我看到这束光的速度也是c！因为这是光速不变原理说的！在任意惯性系中测得的光速都是c！又根据狭义相对性原理，我们的方程，包括电磁方面的规律，形式都应该是一样的。所以，我认为，在t’时间里面，光走过的距离应该是
x’=ct’。”
接下来，我们分工合作好吗？各自把光走过的距离的式子代进上面兔哥假设的新的式子中去。
兔子得到的是
ct’=γ（ct…ut）
你得到的是
ct=γ（ct’＋ut’）
呵呵，这很简单吧？我们再把右边括号里面的同样的t或t’提到括号外面来，这样看起来舒服些，也就是
ct’=γt（c…u）
ct=γt’（c＋u）
嘿嘿，之后把上面两个式子左边乘左边，右边乘右边，呵呵
cctt’=γγtt’（c…u）（c＋u）
发现了没有？那个tt’两边都有哟，行，把他们都“干”掉
cc=γγ（c…u）（c＋u）
还记得（c…u）（c＋u）=c2…u2这条公式吗？初中的内容喔，来再用一下，可以变得更简洁一些
c2=γ2（c2…u2）
好，把（c2…u2）移到左边去，我们的目的是求是γ究竟等于多少，那么新的变换式就有着落了。
c2/（c2…u2）= γ2
接下来，再玩个游戏，把左边式子的分子、分母都同时除以一个c2
呵呵，等于多少呢？
1/（1… u2/ c2）=γ2
为了求得γ，我们还必须得两边开方哟，于是
γ=1/√（1… u2/ c2）
“哇噻！完全符合俺兔子的预想！γ跟x、t或者x’、t’都没有关系！啊！伟大的兔子！他继承了兔子的光荣的传统！他是一个兔子在战斗！……它只跟u有关系呀！而且，看见了没有？当u很小时，而c却是很大的哟，等于30万呀，那分母就近似等于1，而γ就回到1了！就回到伽利略变换式啦！”兔子疯狂了。
看来，我们得到的结果具有较好的初步效果哟！
来，我们先把γ代入所设的式子中，得到最后结果。
“我来！我来！
x= （x’＋ut’） /√（1… u2/ c2）
和x’=（x…ut） /√（1… u2/ c2）
是吧？”兔子抢先道。
“哎，要不是昨晚请教了爱因斯坦大叔，还背了一个晚上……现在，哪能那么威风呢！其实，上面的东西，俺一点也……”兔子拍拍胸脯。
149楼
好，兔子已经给我们算出了你和它的x坐标之间的转化关系式了。那就是
x'＋ut'
x = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
和
x…ut
x' = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
但是，为了能够真正找出四个坐标的关系，革命还未成功，同志还需努力呀！
我们先来看一下y和z坐标。
注意，兔子是沿着x轴的正方向移动的，可以很容易发现，你和它的y和z坐标都应该是一样的，而只有x坐标存在不同。因此，有这样的关系
y＝y’或y’=y
z=z’或z’=z
那就只剩下时间t了喔。我们已经知道，在伽利略变换式中，你们两个的时间是没有区别的，是一样的，这样的依据就是牛顿的绝对时空观。但是，牛顿究竟对不对呢？这里是应该打个问号的！
思考一下，前面有两个重要的式子——x=ct和x’=ct’！
运用我们的数学知识，既然已经知道了x，而c又是常数，那相当于只剩下一个未知数t，一元一次方程，特简单！
把x、x’代进去，之后把t和t’求出来。
x’＋ut’
－－－－－－－＝ct （１）
√（1… u2/ c2）
x…ut
－－－－－－－＝ct’ （２）
√（1… u2/ c2）
对于第一个式子，由于x’=ct’，或者t’＝x’／c，将这两个关系 代入（１）式中，可以得到
ct’＋ux’/c
－－－－－－－ ＝ct
√（1… u2/ c2）
还可以简单一些，两边都除以c，
t’＋ux’/c2
－－－－－－－ ＝t
√（1… u2/ c2）
这样就可以得到用兔子的坐标来表示的你的t的式子了。
同样的道理，照搬这种方法步骤，可以得到用你的坐标来表示的兔子 的t’的式子，那就是（可以使用一下类比的方法）
t…ux/c2
－－－－－－－ ＝t'
√（1… u2/ c2）
最后，我们将四个坐标都综合起来，看看
x'＋ut'
x = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
y=y’
z=z’
t’＋ux’/c2
t＝ －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
和
x…ut
x' = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
y’=y
z’=z
t…ux/c2
t'＝ －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
其实，这两组式子也是等价的，只不过带撇的字母写在不同一边而已。
只要用这两组式子的任意一组，你或者兔子就可以轻松地从自己的坐标出发，得到对方的结果啦！
这，就是蜚声四海的洛伦兹变换式！
呵呵，希望你们没有被上面的数学推倒吓倒。
如果你一直看了过来，而且明白了，清楚了，那么祝贺你，你度过了一道难关，你拥有很好的耐性和数学逻辑能力！要是你没有看进去的话，还是不要紧，只要你能够明白这么一个从公理出发的思路，我的目的也就达到了。
这个思路就是：
从狭义相对性原理，我们可以知道所有的物理规律，包括电磁学的，在惯性系都取相同形式，再加上光速不变原理，任何惯性系的观测者测得的光速都是c！这样我们就可以假设一个在两个惯性系来测量光走过距离的情景，主角正好就是你和兔子。因为你们用的规律是一样的，光速又是一样的，这样我们就能够求得你们两个的坐标之间的关系了。而求得关系的过程就是上面的数学推导。
怎样，可以体会到两条原理的基础作用了吗？
至于所得到的洛伦兹变换式，希望你们可以记住，或者最低限度，可以认得它们，当下次见到它时能够有“似曾相识”的感觉。
最后，有一个好消息，在接下来的文章中，将不会再出现如此繁琐、乏味的数学推导了！但是，个别的式子还是难以避免，望诸位有所准备。
回忆一下，我们本来的目的是推广伽利略相对性原理。
现在，我们得到的式子跟伽利略变换式确实是不大相同了。而区别主要在于x和t的式子上。x的表达式多了一个根式分母，这就表明，你和兔子的坐标之间的关系比我们之前所认为的复杂了许多，特别是在高速时就更加明显。而t的表达式更是具有天壤之别，不再是我们曾经信奉的那个绝对时间——在宇宙的任一个地方都是同一个时间！反而是不同惯性系可能就具有各异的时间！
如果再站在经典物理学的立场来看洛伦兹变换式的话，肯定是无法接受的！因为两者的基本出发点都背道而驰了。
其实，这个式子之所以叫做洛伦兹变换式，背后是大有文章的。
早在爱因斯坦之前，洛伦兹就得到了这个式子。（诸位应该不会忘记他和庞加莱差点就捡到了相对论这块蛋糕）
不过，洛伦兹的出发点跟爱因斯坦很不相同。他发现，当把麦克斯韦的方程代入伽利略变换式去变换时，结果得到的式子跟之前的不一样了。换句话说，伽利略变换式不能使得麦克斯韦的方程形式不变！电磁学规律会因为惯性系的不同而不同！
但是洛伦兹从存在绝对静止以太的观念出发，发现了这样一个式子，它能够使得把麦克斯韦的方程代入后形式不发生变化！这就是洛伦兹变换式！但是，洛伦兹得到这个式子更多是凭借数学手段，并不蕴涵爱因斯坦的思想。
然而，让我们感到可笑的是，现在，当我们从爱因斯坦的基础出发，竟然又一次得到了它！
不过，显而易见，它们的外貌虽然没有两样，实质却大大不同了。洛伦兹还停留在绝对时空观，而现在我们已经开始跳出了这一个藩篱。
最后，历史给予了对洛伦兹这一发现的肯定，这组式子被唤做“洛伦兹变换式”。
（说点题外话，不过，这样的讨论可以提高我们对科学的认识和判断。）
从这里我们可以看到这样一个事实——数学走在了物理学的前面。
洛伦兹用数学手段得到了洛伦兹变换式，却不能够诠释它的物理意义。数学提前登上了物理学的舞台。其实，这样的例子是非常多的。
早在爱因斯坦广义相对论来到世上之前，它的数学工具——黎曼几何就呱呱坠地，长大成人；非欧几何的诞生也是在人们对空间认识的变革之前；超弦理论的一些结论就是借助数学上的某些已有公式……
所以说，这种现象是司空见惯的，特别是在物理学高度发展的今天。
出现这种有趣的事情，其实也是可以找到一点原因的。数学追求的更多是逻辑和抽象，它可以不去管它的结论是否符合客观世界。只需逻辑上不出现错误，在数学看来就是正确的。而物理学却必须使得自己的预言、结论和现实相符，否则就被淘汰！从这种角度来说，数学研究的东西可以更多，更加不受限制，它可以在更宽的空间里驰骋飞扬，而可能其中只有一种是真正与实际世界相同。
这种更宽松的环境，使得数学可以更快的发展，因为，它不需要时间去考虑所得究竟符不符合实际。而要知道一个理论是否与实际相符，却是需要相当长的时间的，可能必须等到人类发展到某个阶段，可以做这样的实验，才能真正作出判断。物理学这样就有可能落后了数学很多。
看来，做一个物理学家，还真得向数学家学习，向数学家取经呢！
现在，我们的手头上已经有了洛伦兹变换式。
其实，在物理学中，每一条数学式子都是大有玄机的。它不仅仅是一条式子，它还蕴涵有很深的物理意义。
我们看到任意一条物理公式，都应该打破沙锅，深究一下它的意义所在，这样你就会发现很多有趣的事情。（这种方法在研究物理时也是相当有用的，例如前面我们提过的量子力学中普郎克的例子，他就是先有公式，再找到能量子的意义！）
那下面我们就话一点时间来琢磨琢磨洛伦兹变换式背后的秘密。
说到底，洛伦兹变换式代表的就是一个物理事件对不同惯性系之间的变换关系。你也会发现，这样一来，我们描述任何一件事情时，都需要用到表示空间和时间的四个坐标了，而不能再像以前那样，可以可以将时间孤立出来，因为我们曾经认为时间是绝对的，对任何地方都是一样的！时间和空间混合在一起了！看看最后的那个t的式子，在不同的地方，时间也将可能不一样！时间应该是相对的！时间只有明确了参考系才会有明确的意义！
这代表了一种新的时空观。
再来看一下，洛伦兹变换式里面有一个速度u，倘若这个u大于了光速c，会出现什么情况呢？没错，那个根号里面就会得到负数，整个根号就成虚数了，这确实是令我们难以接受的！所以，实际上，洛伦兹变换式已经限制了物体的运动速度不能超过光速，光速是一切事物的速度的上限！
这又一次昭示了光速的特殊性。
这正是物理公式给我们揭示的！
值得一提的是，在伽利略变换式中，认为t＝t’，说到本质上，就是承认了无限大信号传播速度的存在，只有从这里能够将信息无限快地传播到宇宙的那一边，我们才可以认为时间是绝对的！当我们相距很远时，要想让我们一致认为我们的时间都是一样的，就得有一束无限大信号将我们联系起来，从而取得结论。
然而现在，洛伦兹变换式却与这相悖，反倒认为物体有一个上限的速度。
这也是新旧理论的一点差异。
而且，前面我们也发现了，当u很小时，u2/ c2趋于０，那样的话，洛伦兹变换式就近似回到了伽利略变换式。
这样一瞧，我们就可以想到，噢，原来伽利略变换式只不过是洛伦兹变换式的一级近似而已，它是低速时洛伦兹变换式的近似表达式。而洛伦兹变换式就应该是囊括大范围的、普适的理论式子！
要是放大一点，可以这样说，牛顿力学是狭义相对论的一级近似，是低速运动的近似理论，而狭义相对论应该是囊括大运动范围、普适的理论。
从这里也就可以看出，伽利略变换式所代表的绝对时空观，是在低速条件下近似的、粗糙的、建立在直观感觉经验基础上的理论。
而洛伦兹变换式所代表的相对时空观，才是包括了高速情况、严格精密的、建立在大量科学实验基础上的理论！
上面这些都是我们看洛伦兹变换式时应该可以想到的物理意义。
深刻地去分析一件很小的东西，可以让我们发现一个埋藏在背后的大世界。
正所谓“一叶落而知天下秋”呀。
这对于我们看待生活问题也是有很大帮助的。
好，接下来，我们将去看看，从洛伦兹变换式出发，我们可以推出一些什么惊世骇俗、让我们目瞠舌结的结果。
做好准备哟，我们将得又一次抛开我们所谓的“常识”。
在下面的旅途中，你将迎来一系列光怪陆离、异于常识的现象和结论，在那里，我们将深刻地感受到狭义相对论带来的震撼和疑惑。
每一次对常识的怀疑，都刺痛我们的心灵；
每一次对常识的屏弃，都坚定我们的信心。
在痛苦中奋起；
于伤痛中前行。
来
