逻辑学 上卷作者_德黑格尔着杨一-第42部分

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的系数便已经穷尽了。和前引的笛卡儿的例子一样，常数本身就是方根的平
方，所以方根从常数来规定，同样也可以从系数来规定，——因为常数也一
般和系数同样是方程式的方根的函数。在普通表远中，所谓常数只是用加号
（＋）减号（一）与其余各项联系，省略这个常数，只是依办法的单纯机械
作用而进行的，为了求出一个棕合表现的微分，便只对变量给与一个增长，
并从原来的表用减去由此而形成的表现。常数的意义及其省略，它们本身在
什么程度上是函数，依照这种规定，它们是有用或是没有用：这些都没有谈
到。

与常数的省略联系起来，关于求微分和求积分这两个名词，可以作类似
于以前对有限和无限的名词所作的说法，即它们的规定所包含的东西，倒是
名词所说的反面。求微分是指建立差分；但是通过求微分，一个方程式反而
降到较低的因次，①而省略常数，又是去掉了规定性的一个环节；如前所说，
假定变量的方根相等，那么，方根间的差分也就取消了。反之，求积分时，
却应该再加上常数；方程式固然因此而得到积分，但是这意谓着恢复了以前
取消过的方根的差分，而被假定相等的东西将再取微分。——普通的名词也
增添了对事物本质的含混朦胧，一切都是用次要的、甚至与主题风焉牛不相
及的观点来提出的，这种观点一部分是无限小的差分、增量以及诸如此类，
另一部分是一般已知的和寻出的函数之间的单纯差分，而并没有标明其特殊
的，即质的区别。

①　微分方程式的项，皆比1　小，故数的大小与其因次高低成反比例。——译者

另一个使用微分计算的主要部门，是力学；关于它的对象——运动——
的基本方程式所发生的不同的方冪函故，其意义已经附带提到过；在这里，
我愿意直接从这些意义谈起。简单匀速的数学表示，即c=
s
t
或s=ct　方程式，
其中所经过的空间依一个经验的单位C，即速度的大小，与所经历的时间成
正比例，这个方程式对于求微分，并没有提供什么意义；系数c　是完全规定
了的，已知的，不能再有更多的方冪展开。——如何解析落体运动方程式
S=at2，在这以前也已经提到过；——
ds
dt
=2at，解析的首项、假如翻译为语
言并连带地移植为存在物，那就是：一个总和（这个概念，我们久已去掉了）
的项应该是运动的一部分，并且这一部分应该这样地加到惯性力（即简单匀
速运动）里去，那就是：运动在无限小的时间部分中是匀速的，但在有限的、
即事实上存在着的时间部分中，是不匀速的。当然，fs=2at，井且a　和t，
的本身意义，都是已知的，这样也就一同建立了运动匀速的规定；既然a＝
s
t　2　，于是2at=
2s
t
就是普遍的：但是人们丝毫不因此而多知道什么。只是错
误的假定，即2at　是作为一个总和的运动的一部分，给予了一个像是物理命
题的错误假象而已。a　这个因数本身，是一个经验的单位，是一个定量本身，
它须耍归到重力上去；假如要用重力这一范畴，那倒不如说s=at2　这一整体
是结果，或更确切地说，是重力的法则。——从
ds
dt
=2at　导出的命题也是一
样，这命题说：假如重力停止发生影响，那么，物体便将以堕落终止时所达
到的速度，在相等于堕落所费的时间内，通过它所曾经过的空间的两倍。—
—这里包含着一个本身很歪曲的形而上学；堕落的终止，或说物体堕落所终
止的时间部分，它本身总之还是一个时间部分；假如它不是时间部分，那就
是假定了静止，从而也就没有速度；速度的提出，只能按照在一定时间内，
而不是在时间的终止部分所经过的时间。假如现在毕竟要把微分计算应用于
完全没有运动的物理部门，例如光的情况（除了它在空间中的所谓传播之外）
和颜色的量的规定，而将这里一个平方函数的第一导数也叫做速度，那么，
这就必须认为是冒充存在物更要不得的形式主义。
拉格朗日说，我们在物体堕落的经验中找到s=at2，方程式所表示的运
动。在这个运动之后，最简单的运动将是其方程式为s…ct3　的运动，但是自
然界并没有表现过这类的运动；我们还不知道c　这个系数能意谓什么。对系
数c　说，虽然是如此；反之，却有一个运动，其方程式是s3=at2；这就是太阳
系天体运动的克卜勒规律；——这里第一个导出的函数
2
3　2
at
s
等等应该意谓着
什么，以后用直接求微分来处理这个方程式，从这个出发点来解释那种绝对
运动的规律和规定：这些就恰恰相反，一定显得是很有兴趣的课题，解析在
这种课题中会露出最可贵的光彩。
所以微分计算对运动基本方程式的应用，就本身主，并没有提供什么实
在的兴趣：至于形式的兴趣，那却是从针算的一般机械作用来的。但是就运
动轨道的规定的关系来解析运动，这却包含另一种意义；假如这是一条曲线，
并且它的方程式也包含了较高的方冪，那么，这就需要从作为乘方函数的直
线函数到方冪本身的过渡；由于获得那些直线函数，须从原来包含时时因数
的运动方程式去掉时间，所以这个因数也须同时降到较低的展开函数，从这
些展开函数，可以得到直线规定的方程式。这个方面引起对微分计算另一部
分的兴趣。

以上所说的目的，在于强稠并明确微分计算简单的特殊规定，用一些粗
浅的例子来说明这种规定。这种规定之所以产生，在于：从一个方幂函数的
方程式，求出展开项的系数，所谓第一导数；这个函数是一个比率，它在具
体对象的诸环节中得到证明；如此由这个函数得来的方程式，便在那两个比
率之间规定了这些环节本身。

同样也须要简短考察一下积分计算原理以及这原理应用于积分计算特殊
具体规定所发生的东西。这种计算的观点之所以已经简化并得到更正确的规
定，因为它已不再被认为像与求微分对立时被称为累加法（Sumrnations
Methode）那样，在那时，增长还被当作是重要的成分，从而计算还好像与系
列的形式有本质的联系。——这种计算的任务，起初也和微分针算的任务一
样，是理论的，或者不如说是形式的；但是大家也都知道，它正是微分计算
的反而；——这里是从一个函数出发，这个函数被认为是导数，并且是从一
个还未知的方程式的展开而产生的次一项的系数，从这个导数应该找出原来
的方冪函数；在展开的自然序列中必须被看作是原来的函数的，这里却是导
出来的；而以前被认为是导出的函数的，这里却是已给与的，或一般开始的
函数。但是这种运算的形式部分，似乎已经由微分计算实现了，因为一般由
原来的函数到展开的函数的过渡及其间的比率，在那里已经确定了。假如一
方面为了应用我们必须从那里出发的函数，另一方面又为了实现从这个函数
到原来函数的过渡，在许多情况下，都必须采用系列形式作避难所，那么，
首先便必须坚持这种形式本身与求积分的特殊原则并不直接相干。

但是这种计算的另一部分任务，就形式运算的关系看来，现在就是这种
运算的应用。现在这种应用本身就是任务，即是要认识　上面所指出的意义，
一个特殊对象的已知的、被认为第一导数的原来函数所具有的意义。这种理
论本来似乎也可以在微分计算中完全了结的；但是出现了另外一种情况，使
得事情不这样简单。因为在这种计算中，发生了这样的事，即是由一个曲线
方程式的第一导数得到一个是直线的比率，所以从而就知道求这个比率的积
分，也便有了在纵横座标的比率中的曲线方程式；或者说，假如有了一个关
于曲线平面的方程式，那么，微分计算便应该已经告诉人们关于这样方程式
的第一导数的意义，即这种函数表示纵座标为横座标的函数，于是也就表示
了曲线方程式。

但是现在问题所在，是；对象的规定环节哪一个本身在方程式中是已知
的，因为解析处理只能以已知的作出发点，并从那里过渡到对象其余的规定。
例如已知的，既不足曲线的一个平面空间的方程式，也不是由曲线旋转而发
生的某种立体，也不是曲线的一段弧，而只是在曲线本身的方程式中的纵横
座标的比率。因此，从那些规定到这个方程式本身的过渡，是不能够在微分
计算中已经得到处理的；求出这些比率是要留给积分计算来做的。
但是从前又曾经指出过的，有较多变量的方程式，求它的微分，所给予
的展开方冪或微分系数，不是作为一个方程式，而是作为一个比率；于是任
务就是要为这个是导出函数的比率，在对象的环节中，指出与它相等的第二
个比率。另一方面，积分计算的对象，是原来的函数对导出的（这里应该是
已知的）函数的比率本身，并且任务是在已知的第一导数的对象中，指出那
种须要去求得的原来函数的意义；或者不如说，由于这种意义（例如一条曲
线的平面，或要使其变直的、被想像为直线的曲线等），已经被宣布为间题，
任务就是要指出这样的规定将由原来的函数找到，并且指出什么是对象环
节，什么就在这里必须被当作是（导出）函数的开始函数。

把差分观念当作无限小的观念来使用的那种普通方法，现在却把事情弄
的很容易；对于求曲线的平方，它就把一个无限小的长方形，即纵座标和横
座标的原素（即无限小）的乘积当作不等边的四边形，这个不等边的四边形
以对着横座标无限小部分的那个无限小的弧为它的一边：于是乘积便在以下
的意义有了积分，即积分给予了无限多的不等边四边形的总和，即平面，而
这个平面所需要的规定，就是它的那种原素的有限的大小。同样，这个平面，
由弧的无限小以及属于此种无限小的纵横座标，形成了一个直角三角形，在
这个三角形中，那个弧的平方须等于其他两个无限小的平方之和，求后两者
的积分所得的弧，是被当作一个有限的弧的。

这种办法，以那种一般发现为前提，那种发现为解析的这一部门奠定了
基础，它在这里的方式，就是：成了平方的曲线，变直了的弧等等，对曲线
方程式所给予的某一函数，有着所谓原来函数对导出函数那样的比率。因此
现在所要知道的，是：假如一个数学对象（例如一条曲线）的某一部分被认
为是导出的函数，那么，它的哪一另外的部分是由相应的原来函数来表示呢？
人们知道，假如由曲线方程式给予的纵座标函数被认为是导出的函数，那么，
相对的原来函数就是这个纵座标所切的曲线面积大小的表现；假如某一切线
规定被认为是导出的函数，那么，它的原来函数就表现为属于这个切线规定
的弧之大小等等；现在这些比率构成一个比例，它们一个是原来函数对导出
函数的比率，另一个是数学对象两个部分或两种情况的大小比率；但是使用
无限小并以它作机械运算的那种方法，却省掉了对这一点的认识和证明。它
特殊的聪明功绩，是从别处已经知道了的结果里，找出一个数学对象的某些
和哪些方面，与原来函数和导出函数有比率。

在这两个函数中，导出的函数（或说它既是已被规定的，那就是乘方的
函数），它在这里的计算中，相对于原来函数而言，是已知的，而原来函数
却应该通过求积分，从那个导出的山数找出来。但是这个导出的函数既不直
接是已知的，而数学对象的哪一部分或规定，应孩被看作是导出的函数，以
便把它还原为原来的导数，求出对象的另一部分或规定（它的大小就是问题
所要求的），这个部分或大小，本身也不是已知的。普通的方法，如已经验
过的，是立刻以导出函数的形式，把对象的某些部分想像为无限小；这些部
分，一般可以从对象原来已经给予的方程式，通过求微分而规定（——正如
无限小的纵横座标是为了使一条曲线变直）。这种方法为此便采用这样的部
分，它们可以与同样被设想为无限小的问题对象（这在前一例中，就是弧）
有联系，这种联系是初步数学中已经确定的；因此，假如这些部分是已知的，
那么，问题所要求得的那一部分的大小，也就被规定了；所以为了求曲线的
长，上述的三种无限小便与直角三角形的方程式速系起来；为了求曲线的平
方，纵座标和无限小的横座标便联系在一个乘积之中，因为平面在算术上，
一般被认为是直线的乘积。于是从平面。弧等等这样的所谓原素到平面、弧
等等的大小之过渡，其本身只被当作是从无限多的原素的无限表达过渡到有
限表现，或说是它们的总和；所求的大小，应该是山这些无限多的原素构成
的。

因此，说积分计算单纯是微分坟算倒倒过来的、但一般较为困难的问题，
只能是肤浅的说法；积分计算的真实兴趣，倒不如说是唯在于具体对象中原
来函数和导出函数的相互比率。

拉格朗日既不用那些直接假定的便易方式来免除任何问题的困难，也不
同意在这一针算部门那样做。用少许几个例子，来指出他的办法的细节，这
同样有助于说明事物的本性，他的办法正是以这一点为自己的任务，即，要
本身证明庄一个数学整体（例如一条曲线）的特殊规定之间，有着原来西数
与导出函数的比率。但是，由于这种经率的本性，这一点在这个范围内，是
不能用直接的方式来完成的；因为在数学对象中，这个比率把曲线和直线，
把直糙的因次及其函数和平面的因次及其函数等不同质的东西联系起来了；
所以其规定只可以看作是一较大和一较小的东西之间的中项。这里当然又出
现了带着加减号（p1us　uiid　minus）的增长形式，而那个活泼有力的“