上帝掷骰子吗-量子物理史话-第16部分
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:乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字 ,而是两张表格:I和II。I×II等于几? 让我们把习题完整地写出来。现在,boys and girls,这道题目的答案是什么呢? ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ = ?
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饭后闲话:男孩物理学 1925年,当海森堡做出他那突破性的贡献的时候,他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊 人的天才,但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青 年团去各地旅行,在哥本哈根逗留期间,他抽空去巴伐利亚滑雪,结果摔伤了膝盖,躺了 好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候,他高兴得不能自已,甚至说“我连一秒种的物理 都不愿想了”。 量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候,也才26岁 。玻尔1913年提出他的原子结构的时候,28岁。德布罗意1923年提出相波的时候,31岁。 而1925年,当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候,后来在历史上闪闪发光的那些主 要人物也几乎都和海森堡一样年轻:泡利25岁,狄拉克23岁,乌仑贝克25岁,古德施密特 23岁,约尔当23岁。和他们比起来,36岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子 力学被人们戏称为“男孩物理学”,波恩在哥廷根的理论班,也被人叫做“波恩幼儿园” 。 不过,这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代,象征了科学永远不知畏惧的 前进步伐,开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词, 也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。
上帝掷骰子吗——量子物理史话(5…3) 版权所有:castor_v_pollux 原作 提交时间:2003…10…12 06:55:16 第五章 曙光 三 上次我们布置了一道练习题,现在我们一起来把它的答案求出来。
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┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ = ?
┗ ┛ ┗ ┛ 如果你还记得我们那个公共巴士的比喻,那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的 收费表,乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格,II也是一个2× 2的表格,我们有理由相信,它们的乘积也应该是类似的形式,也是一个2×2的表格。 ┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ = ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛ 但是,那答案到底是什么?我们该怎么求出abcd这四个未知数?更重要的是,I×II的意 义是什么呢? 海森堡说,I×II,表示你先乘搭巴士I号线,然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢?a 处在第一行第一列,它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说,a, 其实就是说,你搭乘I号线从A地出发,期间转乘II号线,最后又回到A地下车。因为是乘 法,所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是,情况还不是那么简单, 因为我们的路线可能不止有一种,a实际代表的是所有收费情况的“总和”。 如果这不好理解,那么我们干脆把题目做出来。答案中的a,正如我们已经说明了的,表 示我搭I号线从A地出发,然后转乘II号线,又回到A地下车的收费情况的总和。那么,我 们如何具体地做到这一点呢?有两种方法:第一种,我们可以乘搭I号线从A地到B地,然 后在B地转乘II号线,再从B地回到A地。此外,还有一种办法,就是我们在A地上了I号线 ,随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线,同样在原地下车。这虽然听起来很不明 智,但无疑也是一种途径。那么,我们答案中的a,其实就是这两种方法的收费情况的总 和。 现在我们看看具体数字应该是多少:第一种方法,我们先乘I号线从A地到B地,车费应该 是多少呢?我们还记得海森堡的车费规则,那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字 ,也就是第一行第二列的那个2,2块钱。好,随后我们又从B地转乘II号线回到了A地,这 里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4=8 。但是,我们提到,还有另一种可能,就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来,又上 II号线再下来,这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列 的两个数字的乘积,1×1=1。那么,我们的最终答案,a,就等于这两种可能的叠加,也 就是说,a=2×4+1×1=9。因为没有第三种可能性了。 同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线,从A地出发最终抵达B地的收费情 况总和。这同样有两种办法可以做到:先在A地上I号线随即下车,然后从A地坐II号线去B 地。收费分别是1块(矩阵I第一行第一列)和3块(矩阵II第一行第二列),所以1×3=3 。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地,收费2块(矩阵I第一行第二列),然后在B地 转II号线原地上下,收费1块(矩阵II第二行第二列),所以2×1=1。所以最终答案:b =1×3+2×1=5。 大家可以先别偷看答案,自己试着求c和d。最后应该是这样的:c=3×1+1×4=7,d=3 ×3+1×1=10。所以: ┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ × ┃ 4 1 ┃ = ┃ 7 10┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛ 很抱歉让大家如此痛苦不堪,不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌 生的话,那么我们很快就要给你更大的惊奇,但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才 是。圣人说,温故而知新,我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜,还是巩固巩固我 们的基础吧,让我们把上面这道题目验算一遍。哦,不要昏倒,不要昏倒,其实没有那么 乏味,我们可以把乘法的次序倒一倒,现在验算一遍II×I: ┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ × ┃ 3 1 ┃ = ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛ 我知道大家都在唉声叹气,不过我还是坚持,复习功课是有益无害的。我们来看看a是什 么,现在我们是先乘搭II号线,然后转I号线了,所以我们可以从A地上II号线,然后下来 。再上I号线,然后又下来。对应的是1×1。另外,我们可以坐II号线去B地,在B地转I号 线回到A地,所以是3×3=9。所以a=1×1+3×3=10。 喂,打瞌睡的各位,快醒醒,我们遇到问题了。在我们的验算里,a=10,不过我还记得 ,刚才我们的答案说a=9。各位把笔记本往回翻几页,看看我有没有记错?嗯,虽然大家 都没有记笔记,但我还是没有记错,刚才我们的a=2×4+1×1=9。看来是我算错了,我 们再算一遍,这次可要打起精神了:a代表A地上车A地下车。所以可能的情况是:我搭II 号线在A地上车A地下车(矩阵II第一行第一列),1块。然后转I号线同样在A地上车A地下 车(矩阵I第一行第一列),也是1块。1×1=1。还有一种可能是,我搭II号线在A地上车 B地下车(矩阵II第一行第二列),3块。然后在B地转I号线从B地回到A地(矩阵II第二行 第一列),3块。3×3=9。所以a=1+9=10。 嗯,奇怪,没错啊。那么难道前面算错了?我们再算一遍,好像也没错,前面a=1+8=9 。那么,那么……谁错了?哈哈,海森堡错了,他这次可丢脸了,他发明了一种什么样的 表格乘法啊,居然导致如此荒唐的结果:I×II ≠ II×I。 我们不妨把结果整个算出来:
┏ ┓
┃ 9 5┃
I×II= ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
II×I= ┃ 7 9┃
┗ ┛ 的确,I×II ≠ II×I。这可真让人惋惜,原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创 意的,现在看来浪费了大家不少时间,只好说声抱歉。但是,慢着,海森堡还有话要说,
先别为我们死去的脑细胞默哀,它们的死也许不是完全没有意义的。 大家冷静点,大家冷静点,海森堡摇晃着他那漂亮的头发说,我们必须学会面对现实。我 们已经说过了,物理学,必须从唯一可以被实践的数据出发,而不是靠想象和常识习惯。 我们要学会依赖于数学,而不是日常语言,因为只有数学才具有唯一的意义,才能告诉我 们唯一的真实。我们必须认识到这一点:数学怎么说,我们就得接受什么。如果数学说I ×II ≠ II×I,那么我们就得这么认为,哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们,我们也 不能改变这一立场。何况,如果仔细审查这里面的意义,也并没有太大的荒谬:先搭乘I 号线,再转II号线,这和先搭乘II号线,再转I号线,导致的结果可能是不同的,有什么 问题吗? 好吧,有人讽刺地说,那么牛顿第二定律究竟是F=ma,还是F=am呢? 海森堡冷冷地说,牛顿力学是经典体系,我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的 任何奇特性质过分大惊小怪,那会让你发疯的。量子的规则,并不一定要受到乘法交换率 的束缚。 他无法做更多的口舌之争了,1925年夏天,他被一场热病所感染,不得不离开哥廷根,到 北海的一个小岛赫尔格兰(Helgoland)去休养。但是他的大脑没有停滞,在远离喧嚣的 小岛上,海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。而且,他很快就 获得了成功:事实上,只要把矩阵的规则运用到经典的动力学公式里去,把玻尔和索末菲 旧的量子条件改造成新的由坚实的矩阵砖块构造起来的方程,海森堡可以自然而然地推导 出量子化的原子能级和辐射频率。而且这一切都可以顺理成章从方程本身解出,不再需要 像玻尔的旧模型那样,强行附加一个不自然的量子条件。海森堡的表格的确管用!数学解 释一切,我们的想象是靠不住的。 虽然,这种古怪的不遵守交换率的矩阵乘法到底意味着什么,无论对于海森堡,还是当时 的所有人来说,都还仍然是一个谜题,但量子力学的基本形式却已经得到了突破进展。从 这时候起,量子论将以一种气势磅礴的姿态向前迈进,每一步都那样雄伟壮丽,激起滔天 的巨浪和美丽的浪花。接下来的3年是梦幻般的3年,是物理史上难以想象的3年,理论物 理的黄金年代,终于要放射出它最耀眼的光辉,把整个20世纪都装点得神圣起来。 海森堡后来在写给好友范德沃登的信中回忆道,当他在那个石头小岛上的时候,有一晚忽 然想到体系的总能量应该是一个常数。于是他试着用他那规则来解这个方程以求得振子能 量。求解并不容易,他做了一个通宵,但求出来的结果和实验符合得非常好。于是他爬上 一个山崖去看日出,同时感到自己非常幸运。 是的,曙光已经出现,太阳正从海平线上冉冉升起,万道霞光染红了海面和空中的云彩, 在天地间流动着奇幻的辉光。在高高的石崖顶上,海森堡面对着壮观的日出景象,他脚下 碧海潮生,一直延伸到无穷无尽的远方。是的,他知道,this is the moment,他已经作 出生命中最重要的突破,而物理学的黎明也终于到来。
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饭后闲话:矩阵 我们已经看到,海森堡发明了这种奇特的表格,I×II ≠ II×I,连他自己都没把握确定 这是个什么怪物。当他结束养病,回到哥廷根后,就把论文草稿送给老师波恩,让他评论 评论。波恩看到这种表格运算大吃一惊,原来这不是什么新鲜东西,正是线性代数里学到 的“矩阵”!回溯历史,这种工具早在1858年就已经由一位剑桥的数学家Arthur Cayley 所发明,不过当时不叫“矩阵”而叫做“行列式”(determinant,这个字后来变成了另 外一个意思,虽然还是和矩阵关系很紧密)。发明矩阵最初的目的,是简洁地来求解某些 微分方程组(事实上直到今天,大学线性代数课还是主要解决这个问题)。但海森堡对此 毫不知情,他实际上不知不觉地“重新发明”了矩阵的概念。波恩和他那精通矩阵运算的 助教约尔当随即在严格的数学基础上发展了海森堡的理论,进一步完善了量子力学,我们 很快就要谈到。 数学在某种意义上来说总是领先的。Cayley创立矩阵的时候,自然想不到它后来会在量子 论的发展中起到关键作用。同样,黎曼创立黎曼几何的时候,又怎会料到他已经给爱因斯 坦和他伟大的相对论提供了最好的工具。 乔治?盖莫夫在那本受欢迎的老科普书《从一到无穷大》(One; Two; Three…Infinity) 里说,目前数学还有一个大分支没有派上用场(除了智力体操的用处之外),那就是数论 。古老的数论领域里已经有许多难题被解开,比如四色问题,费马大定理。也有比如著名 的哥德巴赫猜想,至今悬而未决。天知道,这些理论和思路是不是在将来会给某个物理或 者化学理论开道,打造出一片全新的天地来。 上帝掷骰子吗——量子物理史话(5…4) 版权所有:castor_v_pollux 原作 提交时间:2003…10…14 00:28:18 第五章 曙光 四 从赫尔格兰回来后,海森堡找到波恩,请求允许他离开哥廷根一阵,去剑桥讲课。同时, 他也把自己的论文给了波恩过目,问他有没有发表的价值。波恩显然被海森堡的想法给迷 住了,正如他后来回忆的那样:“我对此着了迷……海森堡的思想给我留下了深刻的印象 ,对于我们一直追求的那个体系来说,这是一次伟大的突破。” 于是当海森堡去到英国 讲学的时候,波恩就把他的这篇论文寄给了《物理学杂志》(Zeitschrift fur Physik) ;并于7月29日发表。这无疑标志着新生的量子力学在公众面前的首次亮相。 但海森堡古怪的表格乘法无疑也让波恩困扰,他在7月15日写给爱因斯坦的信中说:“海 森堡新的工作看起来有点神秘莫测,不过无疑是很深刻的,而且是正确的。”但是,有一 天,波恩突然灵光一闪:他终于想起来这是什么了。海森堡