思维科学探索-第37部分
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页,按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页,按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
————未阅读完?加入书签已便下次继续阅读!
而且每一项信息的语义内容与思维主体之间的关系并不象经
典集合中那种非此即彼的关系,而是一种模糊关系。思维过程
是凭借着模糊信息作出“准确的”或“部分准确的”判断的
过程。在此过程中,随着系统的思维熵变小,思维主体知识
结构状态变化与思维目标之间的不确定性“尽可能地”被消
除。思维过程不同于一般机器对机器的机械识别。两者本质
的区别是:在机器对信息的识别中,信息的表述必须是确定
的,识别结果的表述必须是确定的;但是在思维过程中,信
息可以是模糊的信息,对知识状态变化的判断也可以是模糊
的。现实世界中用于思维的信息大都与思维主体的知识结构
具有相似性,而不是相等性。因而以模糊信息为基础的学习模
型在思维科学中的应用是一个十分引人入胜的课题。
思维过程的自然语言描述具有一定程度的局限性。为了
形象而直观地研究思维过程,我们应赋于其以数学化的内
容。
第 324 页
表示与
表示
元向量可表示思维主体知识结构的状态是一个
有机的整体。知识元之间也存在着模糊相关关系。设
为知识对其本身影响程度的加权因子, 表示对
对影
影响的加权因子,
我们先来定量描述思维主体的知识结构。思维主体的知
识结构是由不同学科门类的知识以不同的比例组合而成的。
设为组成某一知识结构的知识元, 知识
元在与之有相似点的信息作用下可发生动态变化。则一个
影响的加权因子?余类推表示的加权因子。
对
与相似的语义信息影响的加权因子??
相似的语义信息影响的加权因子,则
相似模糊的语义信息
对
表示与对
的状态变化可表示为:
同理
?
。
程
将上述个等式写成矩状的形式则可得知识结构的状态方
。
第 325 页
表示思维主体的知识结构,
表示思维信息向量,它对知识结构的变化产
、
生作用。
为知识结构矩阵,它表示
知识结构中各知识元之间的内部联系。
写成向量的形式
其中
向量
为信息矩阵,表示信息与
知识结构之间的关系及信息结构状态对知识结构状态作用的
强度。
~
第 326 页
我来描述思维势。思维势是思维能力的描述,它与知
识结构有序程度的变化有关。如果我们用
变化到
表示思维势,则
当思维主体知识结构从时,思维势对应从变
到。思维势增加的宏观表述是与有关的,
新的信息的产生,从而产生动作与激励。则我们可得到:
上式称之为思维反应方程。为思维反应矩阵,它表示知识
结构有序性变化对思维势影响的强度。
综上所述,思维过程的方程可表述为:
(知识结构状态变化方程)
(思维反应方程)
(初始条件)
、
都应是模糊矩阵矩阵中的元素都应是统计推断与综合评
思维过程具有不确定性,因而它为一模糊过程,
判的结果。
第 327 页
提高思维效率的途径
理论研究的目的在于指导实践,思维过程定量化研究要
以认识思维机制并利用其提高思维效率为目标。从思维过程
的方程式中我们可以看出,知识结构及其有序性是思维跃递
的基础,增加知识元之间的相关性是提高知识有序性的途径
之一。因此,在当前科学技术飞速发展,学科间横向关系愈
来愈密切的情况下,不论是自然科学工作者还是社会科学
工作者,一定要顺应发展重建和更新自己的知识结构,特别
是自然科学工作者要增加社会的知识元,社会科学工作者要
增加自然科学技术的知识元,那对提高思维效率是十分重要
的。
在思维过程中,知识结构发生变异,知识结构有序度的
提高是和作为思维基础的信息流的有序性有关的。然而信息
的自发产生和分布是杂乱无序的,这就给信息的有效利用造
成了困难。解决这种困难的途径是各种信息系统对信息施加
的空间有序一一分类,和时间有序一一分级。经过分级分类预
处理的信息由于其有序性的提高,会使思维主体对信息利用
成倍提高。那就要求思维主体掌握经过预处理的二次信息的
规范化的著录和编排方式,学会使用各种信息检索工具,各种
思维工具的有效运用,将会成倍地提高思维效率。
第 328 页
”学
薛 茂芳
( 山东
乞评指
坊教有学院)
根
为了探索高师(包括教育学院,下同)数学专业初等数
学研究与教法课程的改革,针对初等数学研究传统中的“纵
向”、“中轴”发展偏重,笔者曾经冒昧建议: 现代科
学技术高度分化又高度综合,相互渗透产生新学科的成功经
验,对整个初等数学教学积极开展“横向”研究,或“边
缘”研究,从而逐步创设和应的“断面”学科或“交
想的“ 门叫
科,在课程结构方面先行改革,很可能会取得成功。在这些设
向断面”学科或“边缘交叉”学科当中,
做“数学语言学” 。本文试就数学语言及其研究中几个
基本问题,作些初步讨论,不妥或之处,
正
什么是数学语言
第 329 页
希尔伯特
布劳维尔
) 和
能力的具体实施手段。认识功能通过思维手段所获得的结
果,便是思想,便是知识。
人类区别于其他高级动物的另一本质属性,是用语言表
达思维。“语言表达思维”是人类能够交流思想、传播知识
的前提,是人类社会能够赖以存在的必要条件之一。斯大林
说:“语言是同思维直接联系的把人的思维活动的结果、
认识活动的成果用词和由词组成的句子记载下来,巩固起
来,这样就人类社会中的思想交流成为可能了。不难
设想,思想或知识,人类这些“看不见,摸不着”的精神产
品,如果没有语言的相辅相成,如果不用语言表达出来,传
播出去,那么,思想或知识不仅不能形成,即使形成了,也
只能是永远不能开发的精神能源。
性”、“高度的抽象性”和“表达的形式
数学思维,是一种特殊的思维。它的“特殊性”突出地
表现在“严格的逻辑
罗素
化”等三个方面,以至导致产生了数学史上关于数学的所谓
“三大学派”, 怀特海
)的逻辑主义学派、
的直觉主义学派和
)的形式主义学派。三个学派固然都有自己的片面性,
但在探索、认识、总结数学思维的特殊性方面,却都立下了
不朽的功勋。
专门语
按照前述语言与思维的一般关系可以推断:必有表达
数学思维的言,必有充分体现数学思维特点的特殊语
言,这种专门特珠语言,我们把它叫做数学语言。数学
语言学,则是关于数学思维的语言表达特点和其他规律的学
问,是数学、思维学和语言学等有关学科的边缘交叉学科
第 330 页
数学语言研究的目的
学对数学教学的横向断面学科。
本文所谓的“数学语言学,实际上还不是全部的数学语言
学,而只是数学语言学的一个特殊部分,即“数学教学语言
学”。从这个意义出发,数学言学又可以看作是普通语言
正如学校教育各学科所肩负的使命一样,数学教学是以
具体传授数学科学知识,进而培养相应能力为目的的一项社
会实践,是整个学校教育系统的一个分系统,子系统。数学
教师,作为数学教学系统的主导和灵魂,既要不断地从数学
科学知识宝库那儿“输入”知识,又要有效地向自己的教学
对象“输出”知识,而在从“输入”到“输出”的过程中
“运载”这些知识的信息,就是语言,就是数学语言。所
以,数学教师应当学习和研究数学语言学,能够熟练地掌握
和运用数学语,具备良好的阅读能力和表达能力。
最准确、最深刻、最完整、
数学教师一旦掌握了数学语言,在阅读教材和参考有关
教学的各种数学著作时,就能
最迅速地懂得别人说了些什么,因而能大大地提高工作效
率。数学教学实践中存在的所谓“吃不透”教材的现象,对
识
一个具有相当专业基础的教师来说,一般不是因为“数学知
不足,而往往是因为在数学思维及其语言表达方面“不
析。
在行”。现行教材关于数的绝对值的定义,许多教师觉得
“不好讲”,并有囫囵吞枣之不痛快感,主要原因就在于,作
为思维科学基本学科之一的形式逻辑,未能具体提供科学地
剖析此类定义方式的思维根据,致使教师对该定义在语言表
达上的特殊性,感到疑惑不解,无从着手
第 331 页
数学语言的特点
数学教师一旦掌握了数学语言,那么,不管是在口头
上,或是在书面上,还是在口头与书面之外的其他方面,就
能够巧妙地运用各种语言信息,科学地控制学生的思维,获
得称心如意的教学效果。数学教学实践中存在的所谓“话说
不在点子上”,反应迟钝,教态呆滞,板书混乱,不会使用
图表、教具、彩色粉笔以及“会说(讲话)不会写(文
章)”等现象,仍然主要是个“语言表达”问题,而且一向
被轻视。欲克服此类缺陷,切勿以“茶壶煮水饺”故步自
封,而应努力学习研究数学语言学。
总之,数学语言是攻读数学著作、向前人学习数学知识
的有力工具,也是向别人传授数学知识的基本依托。学习数
水平
学语言学,有助于培养自学阅读能力,有助于提高语言表达
不仅使知识传授更为奏效,而且在潜移默化之中使学
生逐步树立辩证唯物主义的世界观。这就是为什么说,一个
好的数学教师,必定同时又是半个数学语言家或数学思想家
的道理。
数学语言的基本特点,在笔者看来,至少存在以几下
点。
一日简练。
文学作品的形象描绘,以不惜文字的精工编织为代价,
换来了文学语言的艺术美;数学科学对客观世界本质的抽象
反映,则以简要、精炼著称。正如“红妆”是美,“素裹”
也是美一样。
在数学中,一条应用广泛的规律用一句话就能概括;标志
~
第 332 页
微分方程组(又称麦克斯韦方程组)即可表示出
着自然科学史上第二次大综合的整个电磁学理论,由一组偏
爱因斯垣的
一个数学公式予告了原子能的存在
言的“纸上谈兵”能够解决实践中不可思议的复杂课题
海王星的发现,数学语
而
优美的乐曲用七个阿拉伯数字外加一些附加符号即可谱写,
更进一步使我们领略到数学语言的简炼特色。
数学语言之简炼,一方面体现于量上之“少”,一方面
则见著于质上之“精”。这是由数学科学的研究对象、研究
方法、科学属性和抽象严密的思维特点所决定的。文学反映
社会,反映活生生的人,总是在“表现”上做文章,以“表
现”刻画本质。文学描写最忌讳直来直去,不加修饰。对
一部优秀作品的文字要求,总是写得愈婉转愈好,既不在
文字多寡上制定规范,更一贯反对概念化、脸谱化、公式
化。数学则相反,它以“数”“形”或“结构”④等理想模
型为对象,从一开始便透过“现象”而潜入内部,直取要
害,明揭规律,在“本质”上大显身手。“本质”同“现象”
,可以借来作为对数学语言之简炼特
相比,从量上讲是“少”的,从质上说又是“精”的,反映
在表达“外壳”上,便是数学语言的简要和精炼。数学语言
不允许存在与反映本质规律无关的文字,不允许动感情,随
意褒贬夸张。“增之一分则太长,减之一分则太短,著粉则
太白,施朱则太赤”
点的文学形容。
二曰严密。
数学语言的严谨致密结构,同日常语言的宽容松散结
构,是一个鲜明的对比。
日常语言是在人类漫长的进化史上自然产生、自然发展
第 333 页
~
第 334 页
。数学语
念。但在数学中关于数值的“近似”却总是伴随一个“精
度”概念,以明确其“近似”程度
于边数相同的几个多边形的“相似
包含有两个本质属性: “ 对应角相等” 和“ 对应边成比
例” 。
科学对客观世界本质规律的揭示与描述越精确,才越逼
真,越逼真也便越成熟。数学科学对客观世界本质规律的揭
示描述,采取的基本方法是定量化。定量化方法以高精度精
确著称,它不仅使数学科学迅速扩散渗透到各个科学领域。
成为一门相当成熟的科学,而且使人们把能否成功地运用数
学认定为衡量“任何一门”科学成熟与否的标准
言的精确特点正是数学学科揭示描述方法定量化和思维方法
逻辑化的直接反映。数学语言不允许存在外延模糊或内涵不
定的概念,不允许制作似是而非的命题,也不允许以“差不
一,有二说二,
多”、“想当然”为依据的推理论证。数学语言要求有一说
得越精确越好。数学研究、教学及应用中
的所谓“计较” ,甚至不讲情面,并非教学工作者天性吝
啬、冷酷,而是他们忠实于数学科学的必然表现。
四曰理想化。
理想化是数学语言最集中、最突出、最体现个性的特
点。
纯数学概念(包括它的原始概念)、数学命题以及数学
推理,都不是具体存在,而是从大量具体存在中抽象概括而
成的理想存在,又称数学模型。直接地说,数学科学就是以
数学模型”为研究对象的。布劳维尔和他的直觉主义裂
数学同实践的联系,强调数学与经验世界无关,无疑是唯心
~
同样,平面几何学中关
概念,则被严格地规定
第 335 页
。笔者
着一个正数的一切
对应的函数值
(
> ( ) ,
=
。
,
则常数就叫做数时的极限”
设想,如果再把符号逻辑(即数理逻辑,下同)中有关的符
号适当加以引用,那么,这个定义便可进一步理想化地
为:
( ):
〔(
>
<
自然,这还不是纯数理逻辑的符号语言,但做为课堂语言
过渡性应用,却是一个相当简明的结果。可见,自觉认识和
驾驭数学语言的理想化特点,对于培养思维能力,加速思维
进程,对于科学地掌握知识,确有益