九章算术-第10部分

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四。

术曰：置钱，锥行衰。

〔按：此术“锥行”者，谓如立锥：初一、次二、次三、次四、次五，各均，

为一列者也。〕

并上二人为九，并下三人为六。六少于九，三。

〔数不得等，但以五、四、三、二、一为率也。〕

以三均加焉，副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。

〔此问者，令上二人与下三人等，上、下部差一人，其差三。均加上部，则

得二三；均加下部，则得三三。下部犹差一人，差得三，以通于本率，即上、下

部等也。于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五钱为所有数，而今有

之，即得等耳。假令七人分七钱，欲令上二人与下五人等，则上、下部差三人。

并上部为十三，下部为十五。下多上少，下不足减上。当以上、下部列差而后均

减，乃合所问耳。此可仿下术：令上二人分二钱半为上率，令下三人分二钱半为

下率。上、下二率以少减多，余为实。置二人、三人，各半之，减五人，余为法。

实如法得一钱，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得钱数也。〕

今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？

答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十

六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分

升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三

十九。

术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。

〔此二率者，各其平率也。〕

上、下率以少减多，余为实。

〔按：此上、下节各分所容为率者，各其平率。上、下以少减多者，余为中

间五节半之凡差，故以为实也。〕

置四节、三节，各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。

〔按此术法者，上下节所容已定之节，中间相去节数也；实者，中间五节半

之凡差也。故实如法而一，则每节之差也。〕

下率一升少半升者，下第二节容也。

〔一升少半升者，下三节通分四升之平率。平率即为中分节之容也。〕

今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫、雁俱起，问何

日相逢？答曰：三日十六分日之十五。

术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日。

〔按：此术置凫七日一至，雁九日一至。齐其至，同其日，定六十三日凫九

至，雁七至。今凫、雁俱起而问相逢者，是为共至。并齐以除同，即得相逢日。

故“并日数为法”者，并齐之意；“日数相乘为实”者，犹以同为实也。一曰：

凫飞日行七分至之一，雁飞日行九分至之一。齐而同之，凫飞定日行六十三分至

之九，雁飞定日行六十三分至之七。是为南北海相去六十三分，凫日行九分，雁

日行七分也。并凫、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也。〕

今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发

长安，问几何日相逢？答曰：二日十二分日之一。

术曰：并五日、七日，以为法。

〔按：此术“并五日、七日为法”者，犹并齐为法。置甲五日一至，乙七日

一至。齐而同之，定三十五日甲七至，乙五至。并之为十二至者，用三十五日也。

谓甲、乙与发之率耳。然则日化为至，当除日，故以为法也。〕

以乙先发二日减七日，

〔“减七日”者，言甲、乙俱发，今以发为始发之端，于本道里则余分也。〕

也。

余，以乘甲日数为实。

〔七者，长安去齐之率也；五者，后发相去之率也。今问后发，故舍七用五。

以乘甲五日，为二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也。

实如法得一日。

〔一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齐而同之，甲定日行三十五分至

之七，乙定日行三十五分至之五。是为齐去长安三十五分，甲日行七分，乙日行

五分也。今乙先行发二日，已行十分，余，相去二十五分。故减乙二日，余，令

相乘，为二十五分。〕

今有一人一日为牝瓦三十八枚，一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作

瓦，牝、牡相半，问成瓦几何？答曰：二十五枚少半枚。

术曰：并牝、牡为法，牝、牡相乘为实，实如法得一枚。

〔此意亦与凫雁同术。牝、牡瓦相并，犹如凫、雁日飞相并也。按：此术

“并牝、牡为法”者，并齐之意；“牝、牡相乘为实”者，犹以同为实也。故实

如法，即得也。〕

今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日摐矢十五。今令一人

一日自矫、羽、摐，问成矢几何？答曰：八矢少半矢。

术曰：矫矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；摐矢五十，用徒

三人少半人。并之，得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。

〔按：此术言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工其作，犹凫、雁共至

之类，亦以同为实，并齐为法。可令矢互乘一人为齐，矢相乘为同。今先令同于

五十矢。矢同则徒齐，其归一也。——以此术为凫雁者，当雁飞九日而一至，凫

飞九日而一至七分至之二。并之，得二至七分至之二，以为法。以九日为实。—

—实如法而一，得一人日成矢之数也。〕

今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一

百。问田几何？答曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。

术曰：置亩数及钱数。令亩数互乘钱数，并，以为法。亩数相乘，又以百钱

乘之，为实。实如法得一亩。

〔按：此术令亩互乘钱者，齐其钱；亩数相乘者，同其亩。同于六十，则初

假之岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二也。凡三岁得钱一百，为所有数，

同亩为所求率，四十七钱为所有率，今有之，即得也。齐其钱，同其亩，亦如凫

雁术也。于今有术，百钱为所有数，同亩为所求率，并齐为所有率。

淳风等按：假田六十亩，初岁得钱二十，明年得钱十五，后年得钱十二。

并之，得钱四十七。是为得田六十亩，三岁所假。于今有术，百钱为所有数，六

十亩为所求率，四十七为所有率，而今有之，即合问也。〕

今有程耕，一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一

人一日自发、耕、耰种之，问治田几何？答曰：一亩一百一十四步七十一分步之

六十六。

术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数，并，以为法。亩数相乘为实。实如

法得一亩。

〔此犹凫雁术也。

淳风等按：此术亦发、耕、耰种亩数互乘人者，齐其人；亩数相乘者，同

其亩。故并齐为法，以同为实。计田一百五亩，发用十五人，耕用三十五人，种

用二十一人。并之，得七十一工。治得一百五亩，故以为实。而一人一日所治，

故以人数为法除之，即得也。〕

今有池，五渠注之。其一渠开之，少半日一满，次一日一满，次二日半一满，

次三日一满，次五日一满。今皆决之，问几何日满池？答曰：七十四分日之十五。

术曰：各置渠一日满池之数，并，以为法。

〔按：此术其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，

是一日五分满之二也；次三日满者，是一日三分满之一也；次五日满者，是一日

五分满之一也。并之，得四满十五分满之十四也。〕

以一日为实，实如法得一日。

〔此犹矫矢之术也。先令同于一日，日同则满齐。自凫雁至此，其为同齐有

二术焉，可随率宜也。〕

其一术：各置日数及满数。

〔其一渠少半日满者，是一日三满也；次一日一满；次二日半满者，是五日

二满；次三日一满，次五日一满。此谓之列置日数及满数也。〕

令日互相乘满，并，以为法。日数相乘为实。实如法得一日。

〔亦如凫雁术也。按：此其一渠少半日满池者，是一日三满池也；次一日一

满；次二日半满者，是五日再满；次三日一满；次五日一满。此谓列置日数于右

行，及满数于左行。以日互乘满者，齐其满；日数相乘者，同其日。满齐而日同，

故并齐以除同，即得也。〕

今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五

斗。问本持米几何？答曰：十斗九升八分升之三。

术曰：置米五斗，以所税者三之，五之，七之，为实。以余不税者二、四、

六相互乘为法。实如法得一斗。

〔此亦重今有也。所税者，谓今所当税之。定三、五、七皆为所求率，二、

四、六皆为所有率。置今有余米五斗，以七乘之，六而一，即内关未税之本米也。

又以五乘之，四而一，即中关未税之本米也。又以三乘之，二而一，即外关未税

之本米也。今从末求本，不问中间，故令中率转相乘而同之，亦如络丝术。

又一术：外关三而取一，则其余本米三分之二也。求外关所税之余，则当置

一，二分乘之，三而一。欲知中关，以四乘之，五而一。欲知内关，以六乘之，

七而一。凡余分者，乘其母、子：以三、五、七相乘得一百五，为分母；二、四、

六相乘，得四十八，为分子。约而言之，则是余米于本所持三十五分之十六也。

于今有术，余米五斗为所有数，分母三十五为所求率，分子十六为所有率也。〕

今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五

而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？答曰：一斤三

两四铢五分铢之四。

术曰：置一斤，通所税者以乘之，为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。

实如法得一斤。

〔此意犹上术也。“置一斤，通所税者”，谓令二、三、四、五、六相乘，

为分母，七百二十也。“通其所不税者”，谓令所税之余一、二、三、四、五相

乘，为分子，一百二十也。约而言之，是为余金于本所持六分之一也。以子减母，

凡五关所税六分之五也。于今有术，所税一斤为所有数，分母六为所求率，分子

五为所有率。此亦重今有之义。又虽各有率，不问中间，故令中率转相乘而连除

之，即得也。置一以为持金之本率，以税率乘之、除之，则其率亦成积分也。〕

卷七

○盈不足（以御隐杂互见）

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？答曰：

七人。物价五十三。

今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？

答曰：九人。鸡价七十。

今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三。问人数、琎价各几何？答

曰：四十二人。琎价十七。

〔注云“若两设有分者，齐其子，同其母”，此问两设俱见零分，故齐其子，

同其母。又云“令下维乘上。讫，以同约之”，不可约，故以乘，同之。〕

今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三

十。问家数、牛价各几何？答曰：一百二十六家。牛价三千七百五十。

〔按：此术并盈不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之，

各得一家所出率。以少减多者，得一家之差。以除，即家数。以出率乘之，减盈，

故得牛价也。〕

术曰：置所出率，盈不足各居其下。令维乘所出率，并，以为实。并盈、不

足，为法。实如法而一。

〔按：盈者，谓朓；不足者，谓之朒；所出率谓之假令。盈、朒维乘两

设者，欲为同齐之意。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假

令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为

实，并盈、不足为法。齐之三十二者，是四假令，有盈十二；齐之二十一者，是

三假令，亦朒十二；并七假令合为一实，故并三、四为法。〕

有分者通之。

〔若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。〕

盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，

法为人数。

〔“所出率以少减多”者，余，谓之设差，以为少设。则并盈、朒，是为

定实。故以少设约定实，则法，为人数；适足之实故为物价。盈朒当与少设相

通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。〕

其一术曰：并盈、不足为实。以所出率，以少减多，余为法。实如法得一人。

以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。

〔此术意谓盈不足为众人之差。以所出率以少减多，余为一人之差。以一人

之差约众人之差，故得人数也。〕

今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各

几何？答曰：三十三人。金价九千八百。

今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？

答曰：二十一人。羊价一百五十。

术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。

两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一。有分者，通之。两盈两不足相与

同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。

〔按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势

同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实

者，无朒数以损焉。盖出而有余，两盈。两设皆逾于正数。假令与共买物，人

出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去。