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第14部分

九章算术-第14部分

小说: 九章算术 字数: 每页4000字

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之方。股自乘为青幂之矩,以句弦并为袤,差为广。今有相引之直,加损同上。

其图大体以两弦为袤,句弦并为广。引黄断其半为弦率。列用率七自乘者,句弦

并之率。故弦减之,余为句率。同立处是中停也,皆句弦并为率,故亦以句率同

其袤也。〕

置南行十步,以甲斜行率乘之;副置十步,以乙东行率乘之;各自为实。实

如南行率而一,各得行数。

〔南行十步者,所有见句求见弦、股,故以弦、股率乘,如句率而一。〕

今有句五步,股十二步。问句中容方几何?答曰:方三步十七分步之九。

术曰:并句、股为法,句、股相乘为实。实如法而一,得方一步。

〔句、股相乘为朱、青、黄幂各二。令黄幂袤于隅中,朱、青各以其类,令

从其两径,共成修之幂:中方黄为广,并句、股为袤。故并句、股为法。幂图:

方在句中,则方之两廉各自成小句股,而其相与之势不失本率也。句面之小句、

股,股面之小句、股各并为中率,令股为中率,并句、股为率,据见句五步而今

有之,得中方也。复令句为中率,以并句、股为率,据见股十二步而今有之,则

中方又可知。此则虽不效而法,实有法由生矣。下容圆率而似今有、衰分言之,

可以见之也。〕

今有句八步,股一十五步。问句中容圆径几何?答曰:六步。

术曰:八步为句,十五步为股,为之求弦。三位并之为法。以句乘股,倍之

为实。实如法,得径一步。

〔句、股相乘为图本体,朱、青、黄幂各二。倍之,则为各四。可用画于小

纸,分裁邪正之会,令颠倒相补,各以类合,成修幂:圆径为广,并句、股、弦

为袤。故并句、股、弦以为法。又以圆大体言之,股中青必令立规于横广,句、

股又邪三径均。而复连规,从横量度句、股,必合而成小方矣。又画中弦以规

除会,则句、股之面中央小句股弦:句之小股、股之小句皆小方之面,皆圆径之

半。其数故可衰。以句、股、弦为列衰,副并为法。以句乘未并者,各自为实。

实如法而一,得句面之小股可知也。以股乘列衰为实,则得股面之小句可知。言

虽异矣,及其所以成法之实,则同归矣。则圆径又可以表之差并:句弦差减股

为圆径;又,弦减句股并,余为圆径;以句弦差乘股弦差而倍之,开方除之,亦

圆径也。〕

今有邑方二百步,各中开门。出东门一十五步有木。问出南门几何步而见木?

答曰:六百六十六步大半步。

术曰:出东门步数为法,

〔以句率为法也。〕

半邑方自乘为实,实如法得一步。

〔此以出东门十五步为句率,东门南至隅一百步为股率,南门东至隅一百步

为见句步。欲以见句求股,以为出南门数。正合半邑方自乘者,股率当乘见句,

此二者数同也。〕

今有邑东西七里,南北九里,各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几

何步而见木?答曰:三百一十五步。

术曰:东门南至隅步数,以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实

如法而一。

〔此以东门南至隅四里半为句率,出东门一十五里为股率,南门东至隅三里

半为见股。所问出南门即见股之句。为术之意,与上同也。〕

今有邑方不知大小,各中开门。出北门三十步有木,出西门七百五十步见木。

问邑方几何?答曰:一里。

术曰:令两出门步数相乘,因而四之,为实。开方除之,即得邑方。

〔按:半邑方,令半方自乘,出门除之,即步。令二出门相乘,故为半方邑

自乘,居一隅之积分。因而四之,即得四隅之积分。故为实,开方除,即邑方也。〕

今有邑方不知大小,各中开门。出北门二十步有木,出南门一十四步,折而

西行一千七百七十五步见木。问邑方几何?答曰:二百五十步。

术曰:以出北门步数乘西行步数,倍之,为实。

〔此以折而西行为股,自木至邑南一十四步为句,以出北门二十步为句率,

北门至西隅为股率,半广数。故以出北门乘折西行股,以股率乘句之幂。然此幂

居半,以西行。故又倍之,合东,尽之也。〕

并出南、北门步数,为从法,开方除之,即邑方。

〔此术之幂,东西如邑方,南北自木尽邑南十四步之幂,各南北步为广,邑

方为袤,故连两广为从法,并,以为隅外之幂也。〕

今有邑方一十里,各中开门。甲、乙俱从邑中央而出:乙东出;甲南出,出

门不知步数,邪向东北,磨邑隅,适与乙会。率:甲行五,乙行三。问甲、乙行

各几何?答曰:甲出南门八百步,邪东北行四千八百八十七步半,及乙。乙东行

四千三百一十二步半。

术曰:令五自乘,三亦自乘,并而半之,为邪行率;邪行率减于五自乘者,

余为南行率;以三乘五为乙东行率。

〔求三率之意与上甲乙同。〕

置邑方,半之,以南行率乘之,如东行率而一,即得出南门步数。

〔今半方,南门东至隅五里。半邑者,谓为小股也。求以为出南门步数。故

置邑方,半之,以南行句率乘之,如股率而一。〕

以增邑方半,即南行。

〔半邑者,谓从邑心中停也。〕

置南行步,求弦者,以邪行率乘之;求东行者,以东行率乘之,各自为实。

实如法,南行率,得一步。

〔此术与上甲乙同。〕

今有木去人不知远近。立四表,相去各一丈,令左两表与所望参相直。从后

右表望之,入前右表三寸。问木去人几何?答曰:三十三丈三尺三寸少半寸。

术曰:令一丈自乘为实,以三寸为法,实如法而一。

〔此以入前右表三寸为句率,右两表相去一丈为股率,左右两表相去一丈为

见句。所问木去人者,见句之股。股率当乘见句,此二率俱一丈,故曰自乘之。

以三寸为法。实如法得一寸。〕

今有山居木西,不知其高。山去木五十三里,木高九丈五尺。人立木东三里,

望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何?答曰:一百六十四丈九尺六寸

太半寸。

术曰:置木高,减人目高七尺,

〔此以木高减人目高七尺,余有八丈八尺,为句率;去人目三里为股率;山

去木五十三里为见股,以求句。加木之高,故为山高也。〕

余,以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得,加木高,

即山高。

〔此术句股之义。〕

今有井,径五尺,不知其深。立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸。

问井深几何?答曰:五丈七尺五寸。

术曰:置井径五尺,以入径四寸减之,余,以乘立木五尺为实。以入径四寸

为法。实如法得一寸。

〔此以入径四寸为句率,立木五尺为股率,井径之余四尺六寸为见句。问井

深者,见句之股也。〕

今有户不知高、广,竿不知长短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。

问户高、广、邪各几何?答曰:广六尺。高八尺。邪一丈。

术曰:从、横不出相乘,倍,而开方除之。所得,加从不出,即户广;

〔此以户广为句,户高为股,户邪为弦。凡句之在股,或矩于表,或方于里。

连之者举表矩而端之。又从句方里令为青矩之表,未满黄方。满此方则两端之邪

重于隅中,各以股弦差为广,句弦差为袤。故两端差相乘,又倍之,则成黄方之

幂。开方除之,得黄方之面。其外之青知,亦以股弦差为广。故以股弦差加,则

为句也。〕

加横不出,即户高;两不出加之,得户邪。




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