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九章算术-第2部分

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又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。

〔淳风等按:周三径一,周一百八十一步,径六十步三分步之一。依密率,

径五十七步二十二分步之一十三。〕

问为田几何?答曰:十一亩九十步十二分步之一。

〔此于徽术,当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。

淳风等按:依密率,当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕

术曰:半周半径相乘得积步。

〔按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容

六觚之一面,与圆径之半,其数均等。合径率一而外周率三也。

又按:为图,以六觚之一面乘一弧半径,三之,得十二觚之幂。若又割之,

次以十二觚之一面乘一弧之半径,六之,则得二十四觚之幂。割之弥细,所失弥

少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外,又有余径。

以面乘余径,则幂出觚表。若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径。表无余径,

则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。

此一周、径,谓至然之数,非周三径一之率也。周三者,从其六觚之环耳。以推

圆规多少之觉,乃弓之与弦也。然世传此法,莫肯精核;学者踵古,习其谬失。

不有明据,辩之斯难。凡物类形象,不圆则方。方圆之率,诚著于近,则虽远可

知也。由此言之,其用博矣。谨按图验,更造密率。恐空设法,数昧而难譬,故

置诸检括,谨详其记注焉。

割六觚以为十二觚术曰:置圆径二尺,半之为一尺,即圆里觚之面也。令

半径一尺为弦,半面五寸为句,为之求股。以句幂二十五寸减弦幂,余七十五寸,

开方除之,下至秒、忽。又一退法,求其微数。微数无名知以为分子,以十为分

母,约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径,余

一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三,谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之

求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽,余分弃之。

开方除之,即十二觚之一面也。

割十二觚以为二十四觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上

小弦幂,四而一,得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽,余分弃之,

即句幂也。以减弦幂,其余开方除之,得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之

四。以减半径,余三分四厘七秒四忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小

股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽,余分

弃之。开方除之,即二十四觚之一面也。

割二十四觚以为四十八觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置上

小弦幕,四而一,得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽,余分弃之,即

句幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之

四。以减半径,余八厘五毫五秒五忽五分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小

股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽,余分弃之。

开方除之,得小弦一寸三分八毫六忽,余分弃之,即四十八觚之一面。以半径一

尺乘之,又以二十四乘之,得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除

之,得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四,即九十六觚之幂也。

割四十八觚以为九十六觚术曰:亦令半径为弦,半面为句,为之求股。置次

上弦幂,四而一,得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽,余分弃之,即句

幂也。以减弦幂,其余,开方除之,得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。

以减半径,余二厘一毫四秒一忽十分忽之一,谓之小句。觚之半面又谓之小股。

为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽,余分弃之。开方除

之,得小弦六分五厘四毫三秒八忽,余分弃之,即九十六觚之一面。以半径一尺

乘之,又以四十八乘之,得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽,以百亿除之,

得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四,即一百九十二觚之幂也。以九十六

觚之幂减之,余六百二十五分寸之一百五,谓之差幂。倍之,为分寸之二百一十,

即九十六觚之外弧田九十六所,谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂,

得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九,则出圆之表矣。故还就一百九十

二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂,倍之,

得六尺二寸八分,即周数。令径自乘为方幂四百寸,与圆幂相折,圆幂得一百五

十七为率,方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。

案:弧田图令方中容圆,圆中容方,内方合外方之半。然则圆幂一百五十七,其

中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五

十,则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛,其铭曰:律

嘉量斛,内方尺而圆其外,庣旁九厘五毫,幂一百六十二寸,深一尺,积一千六

百二十寸,容十斗。以此术求之,得幂一百六十一寸有奇,其数相近矣。此术微

少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息,当取此

分寸之三十六,以增于一百九十二觚之幂,以为圆幂,三百一十四寸二十五分寸

之四。置径自乘之方幂四百寸,令与圆幂通相约,圆幂三千九百二十七,方幂得

五千,是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七;圆幂三千九百二十七中容方

幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四,倍之,得六尺

二寸八分二十五分分之八,即周数也。全径二尺与周数通相约,径得一千二百五

十,周得三千九百二十七,即其相与之率。若此者,盖尽其纤微矣。举而用之,

上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面,得三千七十二觚之幂,而裁其微分,

数亦宜然,重其验耳。

淳风等案:旧术求圆,皆以周三径一为率。若用之求圆周之数,则周少径多。

用之求其六觚之田,乃与此率合会耳。何则?假令六觚之田,觚间各一尺为面,

自然从角至角,其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓,

今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚,枚别三面,皆长一尺。攒此六物,悉使

锐头向里,则成六觚之周,角径亦皆一尺。更从觚角外畔,围绕为规,则六觚之

径尽达规矣。当面径短,不至外规。若以径言之,则为规六尺,径二尺,面径皆

一尺。面径股不至外畔,定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。

径一周三,理非精密。盖术从简要,举大纲,略而言之。刘徽特以为疏,遂改张

其率。但周、径相乘,数难契合。徽虽出斯二法,终不能究其纤毫也。祖冲之以

其不精,就中更推其数。今者修撰,捃摭诸家,考其是非,冲之为密。故显之于

徽术之下,冀学者知所裁焉。〕

又术曰:周、径相乘,四而一。

〔此周与上觚同耳。周、径相乘,各当一半。而今周、径两全,故两母相乘

为四,以报除之。于徽术,以五十乘周,一百五十七而一,即径也。以一百五十

七乘径,五十而一,即周也。新术径率犹当微少。据周以求径,则失之长;据径

以求周,则失之短。诸据见径以求幂者,皆失之于微少;据周以求幂者,皆失之

于微多。

淳风等按:依密率,以七乘周,二十二而一,即径;以二十二乘径,七而一,

即周。依术求之,即得。〕

又术曰:径自相乘,三之,四而一。

〔按:圆径自乘为外方,三之,四而一者,是为圆居外方四分之三也。若令

六觚之一面乘半径,其幂即外方四分之一也。因而三之,即亦居外方四分之三也。

是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆,失之于微少。于徽新术,当径自乘,又以一

百五十七乘之,二百而一。

淳风等按:密率,令径自乘,以十一乘之,十四而一,即圆幂也。〕

又术曰:周自相乘,十二而一。

〔六觚之周,其于圆径,三与一也。故六觚之周自相乘为幂,若圆径自乘者

九方。九方凡为十二觚者十有二,故曰十二而一,即十二觚之幂也。今此令周自

乘,非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一,所得又非十二觚之幂也。若

欲以为圆幂,失之于多矣。以六觚之周,十二而一可也。于徽新术,直令圆周自

乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。其率:二十五者,周幂也;三

百一十四者,周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分,令自乘,得幂三十九万四千

三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之,得此率。

淳风等按:方面自乘即得其积。圆周求其幂,假率乃通。但此术所求用三、

一为率。圆田正法,半周及半径以相乘。今乃用全周自乘,故须以十二为母。何

者?据全周而求半周,则须以二为法。就全周而求半径,复假六以除之。是二、

六相乘,除周自乘之数。依密率,以七乘之,八十八而一。〕

今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?答曰:一百二十步。

又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?答曰:五亩六十二步

四分步之一。

术曰:以径乘周,四而一。

〔此术不验,故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺,高四尺。四尺为股,

下方之半三尺为句。正面邪为弦,弦五尺也。令句弦相乘,四因之,得六十尺,

即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥,圆锥见幂与方锥见幂,其率犹方幂之与

圆幂也。按:方锥下六尺,则方周二十四尺。以五尺乘而半之,则亦锥之见幂。

故求圆锥之数,折径以乘下周之半,即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹,而与圆锥

同术,则幂失之于少矣。然其术难用,故略举大较,施之大广田也。求圆锥之幂,

犹求圆田之幂也。今用两全相乘,故以四为法,除之,亦如圆田矣。开立圆术说

圆方诸率甚备,可以验此。〕

今有弧田,弦二十步,矢十五步。问为田几何?答曰:一亩九十七步半。

又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?答

曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。

〔方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方合外方之半,

则朱青合外方四分之一也。弧田,半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘

矢而半之,则为黄幂,矢自乘而半之,则为二青幂。青、黄相连为弧体,弧体法

当应规。今觚面不至外畔,失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚

之幂,亦失之于少也,与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者,益复疏阔。

宜句股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。既知圆径,则弧

可割分也。割之者,半弧田之弦以为股,其矢为句,为之求弦,即小弧之弦也。

以半小弧之弦为句,半圆径为弦,为之求股。以减半径,其余即小弦之矢也。割

之又割,使至极细。但举弦、矢相乘之数,则必近密率矣。然于算数差繁,必欲

有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。〕

今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。

〔此欲令与周三径一之率相应,故言径五步也。据中、外周,以徽术言之,

当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

淳风等按:依密率,合径四步二十二分步之十七。〕

问为田几何?答曰:二亩五十五步。

〔于徽术,当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

淳风等按:依密率,为田二亩三十步二十二分步之十五。〕

术曰:并中、外周而半之,以径乘之,为积步。

〔此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中、外周各

自为圆田,以中圆减外圆,余则环实也。〕

又有环田,中周六十二步四分步之三,外周一百一十三步二分步之一,径十

二步三分步之二。

〔此田环而不通匝,故径十二步三分步之二。若据上周求径者,此径失之于

多,过周三径一之率,盖为疏矣。于徽术,当径八步六百二十八分步之五十一。

淳风等按:依周三径一考之,合径八步二十四分步之一十一。依密率,合径

八步一百七十六分步之一十三。〕

问为田几何?答曰:四亩一百五十六步四分步之一。

〔于徽术,当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周

三径一,为田三亩二十五步六十四分步之二十五。

淳风等按:密率,为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕

术曰:置中、外周步数,分母子各居其下。母互乘子,通全步内分子。以中

周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法。除

之为积步。余,积步之分。以亩法除之,即亩数也。

〔按:此术,并中、外周步数于上,分母子于下,母互乘子者,为中外周俱

有余分,故以互乘齐其子,母相乘同其母。子齐母同,故通全步,内分子。半之

知,以盈补虚,得中平之周。周则为从,径则为广,故广从相乘而得其积。既合

分母,还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之,即得积步。不尽,以等数

除之而命分。以亩法除积步,得亩数也。〕

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