九章算术-第5部分
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页,按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页,按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
————未阅读完?加入书签已便下次继续阅读!
十一分步之一十。
术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之,得一十一,为
法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:
一百一十五步五分步之一。
术曰:下有四分,以一为一十二,半为六,三分之一为四,四分之一为三,
并之,得二十五,以为法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如
法而一,得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩,问从
几何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。
术曰:下有五分,以一为六十,半为三十,三分之一为二十,四分之一为一
十五,五分之一为一十二,并之,得一百三十七,以为法。置田二百四十步,亦
以一为六十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求
田一亩,问从几何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。
术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一
为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之,得二百九十四,以为法。
置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。
术曰:下有七分,以一为四百二十,半为二百一十,三分之一为一百四十,
四分之一为一百五,五分之一为八十四,六分之一为七十,七分之一为六十,并
之,得一千八十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。
实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十八步七百六十一分步
之二百三十二。
术曰:下有八分,以一为八百四十,半为四百二十,三分之一为二百八十,
四分之一为二百一十,五分之一为一百六十八,六分之一为一百四十,七分之一
为一百二十,八分之一为一百五,并之,得二千二百八十三,以为法。置田二百
四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十四步七
千一百二十九分步之五千九百六十四。
术曰:下有九分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八
百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分
之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,并之,得七千
一百二十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实
如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何?答曰:
八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为
八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七
分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为
二百五十二,并之,得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二
千五百二十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩,
问从几何?答曰:七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
术曰:下有一十一分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十,
三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十
四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百
六十五,九分之一为三千八十,一十分之一为二千七百七十二,一十一分之一为
二千五百二十,并之,得八万三千七百一十一,以为法。置田二百四十步,亦以
一为二万七千七百二十乘之,为实。实如法得从步。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七
分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之
一。求田一亩,问从几何?答曰:七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百
八十三。
术曰:下有一十二分,以一为八万三千一百六十,半为四万一千五百八十,
三分之一为二万七千七百二十,四分之一为二万七百九十,五分之一为一万六千
六百三十二,六分之一为一万三千八百六十,七分之一为一万一千八百八十,八
分之一为一万三百九十五,九分之一为九千二百四十,一十分之一为八千三百一
十六,十一分之一为七千五百六十,十二分之一为六千九百三十,并之,得二十
五万八千六十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八万三千一百六十乘之,
为实。实如法得从步。
〔淳风等按:凡为术之意,约省为善。宜云“下有一十二分,以一为二万七
千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六
千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一
为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,十分之一
为二千七百七十二,十一分之一为二千五百二十,十二分之一为二千三百一十,
并之,得八万六千二十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二
十乘之,以为实。实如法得从步。”其术亦得知,不繁也。〕
今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?答曰:二百三十五步。
又有积二万五千二百八十一步,问为方几何?答曰:一百五十九步。
又有积七万一千八百二十四步,问为方几何?答曰:二百六十八步。
又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一,问为方几何?答曰:七百五
十一步半。
又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步,问为方几何?答曰:六万
三千二十五步。
○开方
〔求方幂之一面也。〕
术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。
〔言百之面十也。言万之面百也。〕
议所得,以一乘所借一算为法,而以除。
〔先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕
除已,倍法为定法。
〔倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。〕
其复除,折法而下。
〔欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。
如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕
复置借算,步之如初。以复议一乘之,
〔欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。〕
所得副以加定法,以除。以所得副从定法。
〔再以黄乙之面加定法者,是则张两青幂之袤。〕
复除,折下如前。若开之不尽者,为不可开,当以面命之。
〔术或有以借算加定法而命分者,虽粗相近,不可用也。凡开积为方,方之
自乘当还复有积分。令不加借算而命分,则常微少;其加借算而命分,则又微多。
其数不可得而定。故惟以面命之,为不失耳。譬犹以三除十,以其余为三分之一,
而复其数可以举。不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,
其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,
不足言之也。〕
若实有分者,通分内子为定实,乃开之。讫,开其母,报除。
〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合二母。既开之后,一母尚存,故开
分母,求一母为法,以报除也。〕
若母不可开者,又以母乘定实,乃开之。讫,令如母而一。
〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母乘之,乃合二母。既开之后,
亦一母存焉,故令一母而一,得全面也。
又按:此术“开方”者,求方幂之面也。借一算者,假借一算,空有列位之
名,而无除积之实。方隅得面,是故借算列之于下。“步之超一等”者,方十自
乘,其积有百,方百自乘,其积有万,故超位,至百而言十,至万而言百。“议
所得,以一乘所借算为法,而以除”者,先得黄甲之面,以方为积者两相乘,故
开方除之,还令两面上下相命,是自乘而除之。“除已,倍法为定法”者,实积
未尽,当复更除,故豫张两面朱幂袤,以待复除,故曰定法。“其复除,折法而
下”者,欲除朱幂,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘之,而以除,
如是,当复步之而止,乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算,步之如初,
以复议一乘之,所得副以加定法,以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以
所得副从定法”者,再以黄乙之面加定法,是则张两青幂之袤,故如前开之,即
合所问。〕
今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何?答曰:一百三十五步。
〔于徽术,当周一百三十八步一十分步之一。
淳风等按:此依密率,为周一百三十八步五十分步之九。〕
又有积三百步,问为圆周几何?答曰:六十步。
〔于徽术,当周六十一步五十分步之十九。
淳风等按:依密率,为周六十一步一百分步之四十一。〕
开圆术曰:置积步数,以十二乘之,以开方除之,即得周。
〔此术以周三径一为率,与旧圆田术相返覆也。于徽术,以三百一十四乘积,
如二十五而一,所得,开方除之,即周也。开方除之,即径。是为据见幂以求周,
犹失之于微少。其以二百乘积,一百五十七而一,开方除之,即径,犹失之于微
多。
淳风等按:此注于徽术求周之法,其中不用“开方除之,即径”六字,今
本有者,衍剩也。依密率,八十八乘之,七而一。按周三径一之率,假令周六径
二,半周半径相乘得幂三,周六自乘得三十六。俱以等数除幂,得一周之数十二
也。其积:本周自乘,合以一乘之,十二而一,得积三也。术为一乘不长,故以
十二而一,得此积。今还原,置此积三,以十二乘之者,复其本周自乘之数。凡
物自乘,开方除之,复其本数,故开方除之,即周。〕
今有积一百八十六万八百六十七尺,
〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者,曰立方。〕
问为立方几何?答曰:一百二十三尺。
又有积一千九百五十三尺八分尺之一,问为立方几何?答曰:一十二尺半。
又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,问为立方几何?答
曰:三十九尺八分尺之七。
又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七,问为立方几何?
答曰:一百二十四尺太半尺。
开立方
〔立方适等,求其一面也。〕
术曰:置积为实。借一算,步之,超二等。
〔言千之面十,言百万之面百。〕
议所得,以再乘所借一算为法,而除之。
〔再乘者,亦求为方幂。以上议命而除之,则立方等也。〕
除已,三之为定法。
〔为当复除,故豫张三面,以定方幂为定法也。〕
复除,折而下。
〔复除者,三面方幂以皆自乘之数,须得折、议,定其厚薄尔。开平幂者,
方百之面十;开立幂者,方千之面十。据定法已有成方之幂,故复除当以千为百,
折下一等也。〕
以三乘所得数,置中行。
〔设三廉之定长。〕
复借一算,置下行。
〔欲以为隅方。立方等未有定数,且置一算定其位。〕
步之,中超一,下超二等。
〔上方法,长自乘而一折,中廉法,但有长,故降一等;下隅法,无面长,
故又降一等也。〕
复置议,以一乘中,
〔为三廉备幂也。〕
再乘下,
〔令隅自乘,为方幂也。〕
皆副以加定法。以定法除。
〔三面、三廉、一隅皆已有幂,以上议命之而除,去三幂之厚也。〕
除已,倍下,并中,从定法。
〔凡再以中、三以下,加定法者,三廉各当以两面之幂连于两方之面,一隅
连于三廉之端,以待复除也。言不尽意,解此要当以棋,乃得明耳。〕
复除,折下如前。开之不尽者,亦为不可开。
〔术亦有以定法命分者,不如故幂开方,以微数为分也。〕
若积有分者,通分内子为定实。定实乃开之。讫,开其母以报除。
〔淳风等按:分母可开者,并通之积先合三母。既开之后一母尚存,故开分
母,求一母,为法,以报除也。〕
若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。
〔淳风等按:分母不可开者,本一母也。又以母再乘之,令合三母。既开之
后,一母犹存,故令一母而一,得全面也。
按:“开立方”知,立方适等,求其一面之数。“借一算,步之,超二等”
者,但立方求积,方再自乘,就积开之,故超二等,言千之面十,言百万之面百。
“议所得,以再乘所借算为法,而以除”知,求为方幂,以议命之而除,则立方
等也。“除已,三之为定法”,为积未尽,当复