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第9部分

九章算术-第9部分

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又以佣价乘之,

〔欲知致车人佣直几钱。〕

以二十五斛除之,

〔欲知致一斛之佣直也。〕

加一斛粟价,即致一斛之费。

〔加一斛之价于致一斛之佣直,即凡输一斛粟取佣所用钱。〕

各以约其算数为衰,

〔今按:甲衰四十二,乙衰二十四,丙衰十六,丁衰十五,戊衰二十,己衰

十六。于今有术,副并为所有率,未并者各自为所求率,所赋粟为所有数。此今

有、衰分之义也。〕

副并为法,以所赋粟乘未并者,各自为实。实如法得一斛。

〔各置所当出粟,以其一斛之费乘之,如算数而一,得率:算出九钱一百三

十三分钱之三。又载输之间各一日者,即二日也。〕

今有粟七斗,三人分舂之,一人为粝米,一人为粺米,一人为米,

令米数等。问取粟、为米各几何?答曰:粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。米取粟二斗一百二十一分斗之

七十三。为米各一斗六百五分斗之一百五十一。

术曰:列置粝米三十,粺米二十七,米二十四,而反衰之。

〔此先约三率:粝为十,粺为九,为八。欲令米等者,其取粟:粝

率十分之一,粺率九分之一,率八分之一。当齐其子,故曰反衰也。

淳风等按:米有精粗之异,粟有多少之差。据率,粺、少而粝多;

用粟,则粺、多而粝少。米若依本率之分,粟当倍率,故今反衰之,使

精取多而粗得少。〕

副并为法。以七斗乘未并者,各自为取粟实。实如法得一斗。

〔于今有术,副并为所有率,未并者各为所求率,粟七斗为所有数,而今有

之,故各得取粟也。〕

若求米等者,以本率各乘定所取粟为实,以粟率五十为法,实如法得一斗。

〔若径求为米等数者,置粝米三,用粟五;粺米二十七,用粟五十;

米十二,用粟二十五。齐其粟,同其米,并齐为法。以七斗乘同为实。所得,即

为米斗数。〕

今有人当禀粟二斛。仓无粟,欲与米一、菽二,以当所禀粟。问各几何?答

曰;米五斗一升七分升之三。菽一斛二升七分升之六。

术曰:置米一、菽二,求为粟之数。并之,得三、九分之八,以为法。亦置

米一、菽二,而以粟二斛乘之,各自为实。实如法得一斛。

〔淳风等按:置粟率五,乘米一,米率三除之,得一、三分之二,即是米一

之粟也;粟率十,以乘菽二,菽率九除之,得二、九分之二,即是菽二之粟也。

并全,得三。齐子,并之,得二十四;同母,得二十七;约之,得九分之八。故

云“并之,得三、九分之八”。米一、菽二当粟三、九分之八,此其粟率也。于

今有术,米一、菽二皆为所求率,当粟三、九分之八,为所有率,粟二斛为所有

数。凡言率者,当相与。通之,则为米九、菽十八,当粟三十五也。亦有置米

一、菽二,求其为粟之率,以为列衰。副并为法,以粟乘列衰为实。所得即米一、

菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之,即合所问。〕

今有取佣,负盐二斛,行一百里,与钱四十。今负盐一斛七斗三升少半升,

行八十里。问与钱几何?答曰:二十七钱一十五分钱之一十一。

术曰:置盐二斛升数,以一百里乘之为法。

〔按:此术以负盐二斛升数乘所行一百里,得二万里。是为负盐一升行二万

里,得钱四十。于今有术,为所有率。〕

以四十钱乘今负盐升数,又以八十里乘之,为实。实如法得一钱。

〔以今负盐升数乘所行里,今负盐一升凡所行里也。于今有术以所有数,四

十钱为所求率也。衰分章“贷人千钱”与此同。〕

今有负笼重一石,行百步,五十返。今负笼重一石一十七斤,行七十六步,

问返几何?答曰:五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。

术曰:以今所行步数乘今笼重斤数,为法。

〔此法谓负一斤一返所行之积步也。〕

故笼重斤数乘故步,又以返数乘之,为实。实如法得一返。

〔按:此法,负一斤一返所行之积步;此实者一斤一日所行之积步。故以一

返之课除终日之程,即是返数也。

淳风等按:此术,所行步多者得返少,所行步少者得返多。然则故所行者今

返率也。故令所得返乘今返之率,为实,而以故返之率为法,今有术也。按:此

负笼又有轻重,于是为术者因令重者得返少,轻者得返多。故又因其率以乘法、

实者,重今有之义也。然此意非也。按:此笼虽轻而行有限,笼过重则人力遗。

力有遗而术无穷,人行有限而笼轻重不等。使其有限之力随彼无穷之变,故知此

术率乖理也。若故所行有空行返数,设以问者,当因其所负以为返率,则今返之

数可得而知也。假令空行一日六十里,负重一斛行四十里。减重一斗进二里半,

负重二斗以下与空行同。今负笼重六斗,往返行一百步,问返几何?答曰:一百

五十返。术曰:置重行率,加十里,以里法通之,为实。以一返之步为法。实如

法而一,即得也。〕

今有程传委输,空车日行七十里,重车日行五十里。今载太仓粟输上林,五

日三返,问太仓去上林几何?答曰:四十八里一十八分里之一十一

术曰:并空、重里数,以三返乘之,为法。令空、重相乘,又以五日乘之,

为实。实如法得一里。

〔此亦如上术。率:一百七十五里之路,往返用六日也。于今有术,则五日

为所有数,一百七十五里为所求率,六日为所有率。以此所得,则三返之路。今

求一返,当以三约之,因令乘法而并除也。为术亦可各置空、重行一里用日之率,

以为列衰,副并为法。以五日乘列衰为实。实如法,所得即各空、重行日数也。

各以一日所行以乘,为凡日所行。三返约之,为上林去太仓之数。按:此术重往

空还,一输再还道。置空行一里用七十分日之一,重行一里用五十分日之一。齐

而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。完言之者,一百七十

五里之路,往返用六日。故并空、重者,并齐也;空、重相乘者,同其母也。于

今有术,五日为所有数,一百七十五为所求率,六为所有率。以此所得,则三返

之路。今求一返者,当以三约之。故令乘法而并除,亦当约之也。〕

今有络丝一斤为练丝一十二两,练丝一斤为青丝一斤一十二铢。今有青丝一

斤,问本络丝几何?答曰:一斤四两一十六铢三十三分铢之一十六。

术曰:以练丝十二两乘青丝一斤一十二铢为法。以青丝一斤铢数乘练丝一斤

两数,又以络丝一斤乘,为实。实如法得一斤。

〔按:练丝一斤为青丝一斤十二铢,此练率三百八十四,青率三百九十六也。

又络丝一斤为练丝十二两,此络率十六,练率十二也。置今有青丝一斤,以练率

三百八十四乘之,为实。实如青丝率三百九十六而一。所得,青丝一斤,练丝之

数也。又以络率十六乘之,所得为实;以练率十二为法。所得,即练丝用络丝之

数也。是谓重今有也。虽各有率,不问中间。故令后实乘前实,后法乘前法而并

除也。故以练丝两数为实,青丝铢数为法。一曰:又置络丝一斤两数与练丝十

二两,约之,络得四,练得三。此其相与之率。又置练丝一斤铢数与青丝一斤一

十二铢,约之,练得三十二,青得三十三。亦其相与之率。齐其青丝、络丝,同

其二练,络得一百二十八,青得九十九,练得九十六,即三率悉通矣。今有青丝

一斤为所有数,络丝一百二十八为所求率,青丝九十九为所有率。为率之意犹此,

但不先约诸率耳。凡率错互不通者,皆积齐同用之。放此,虽四五转不异也。言

同其二练者,以明三率之相与通耳,于术无以异也。又一术:今有青丝一斤铢

数乘练丝一斤两数,为实;以青丝一斤一十二铢为法。所得,即用练丝两数。以

络丝一斤乘所得为实,以练丝十二两为法,所得,即用络丝斤数也。〕

今有恶粟二十斗,舂之,得粝米九斗。今欲求粺米一十斗,问恶粟几何?

答曰:二十四斗六升八十一分升之七十四。

术曰:置粝米九斗,以九乘之,为法。亦置粺米十斗,以十乘之,又以恶

粟二十斗乘之,为实。实如法得一斗。

〔按:此术置今有求粺米十斗,以粝米率十乘之,如粺率九而一,即

粺化为粝,又以恶粟率二十乘之,如粝率九而一,即粝亦化为恶粟矣。此亦重

今有之义。为术之意犹络丝也。虽各有率,不问中间。故令后实乘前实,后法乘

前法而并除之也。〕

今有善行者行一百步,不善行者行六十步。今不善行者先行一百步,善行者

追之。问几何步及之?答曰:二百五十步。

术曰:置善行者一百步,减不善行者六十步,余四十步,以为法。以善行者

之一百步乘不善行者先行一百步,为实。实如法得一步。

〔按:此术以六十步减一百步,余四十步,即不善行者先行率也;善行者行

一百步,追及率。约之,追及率得五,先行率得二。于今有术,不善行者先行一

百步为所有数,五为所求率,二为所有率,而今有之,得追及步也。〕

今有不善行者先行一十里,善行者追之一百里,先至不善行者二十里。问善

行者几何里及之?答曰:三十三里少半里。

术曰:置不善行者先行一十里,以善行者先至二十里增之,以为法。以不善

行者先行一十里乘善行者一百里,为实。实如法得一里。

〔按:此术不善行者既先行一十里,后不及二十里,并之,得三十里也,谓

之先行率。善行者一百里为追及率。约之,先行率得三,三为所有率,而今有之,

即得也。其意如上术也。〕

今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。问犬不止,复行

几何步及之?答曰:一百七步七分步之一。

术曰:置兔先走一百步,以犬走不及三十步减之,余为法。以不及三十步乘

犬追步数为实。实如法得一步。

〔按:此术以不及三十步减先走一百步,余七十步,为兔先走率。犬行二百

五十步为追及率。约之,先走率得七,追及率得二十五。于今有术,不及三十步

为所有数,二十五为所求率,七为所有率,而今有之,即得也。〕

今有人持金十二斤出关,关税之,十分而取一。今关取金二斤,偿钱五千。

问金一斤值钱几何?答曰:六千二百五十。

术曰:以一十乘二斤,以十二斤减之,余为法。以一十乘五千为实。实如法

得一钱。

〔按:此术置十二斤,以一乘之,十而一,得一斤五分斤之一,即所当税者

也。减二斤,余即关取盈金。以盈除所偿钱,即金值也。今术既以十二斤为所税,

则是以十为母,故以十乘二斤及所偿钱,通其率。于今有术,五千钱为所有数,

十为所求率,八为所有率,而今有之,即得也。〕

今有客马,日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一,主人乃觉。持衣追及,

与之而还;至家视日四分之三。问主人马不休,日行几何?答曰:七百八十里。

术曰:置四分日之三,除三分日之一,

〔按:此术“置四分日之三,除三分日之一”者,除,其减也。减之余,有

十二分之五,即是主人追客还用日率也。〕

半其余,以为法。

〔去其还,存其往。率之者,子不可半,故倍母,二十四分之五。是为主人

与客均行用日之率也。〕

副置法,增三分日之一。

〔法二十四分之五者,主人往追用日之分也。三分之一者,客去主人未觉之

前独行用日之分也。并连此数,得二十四分日之十三,则主人追及前用日之分也。

是为客用日率也。然则主人用日率者,客马行率也;客用日率者,主人马行率也。

母同则子齐,是为客马行率五,主人马行率十三。于今有术,三百里为所有数,

十三为所求率,五为所有率,而今有之,即得也。〕

以三百里乘之,为实。实如法,得主人马一日行。

〔欲知主人追客所行里者,以三百里乘客用日分子十三,以母二十四而一,

得一百六十二里半。以此乘客马与主人均行日分母二十四,如客马与主人均行用

日分子五而一,亦得主人马一日行七百八十里也。〕

今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤。问次一尺各重

几何?答曰:末一尺重二斤。次一尺重二斤八两。次一尺重三斤。次一尺重三斤

八两。次一尺重四斤。

术曰:令末重减本重,余,即差率也。又置本重,以四间乘之,为下第一衰。

副置,以差率减之,每尺各自为衰。

〔按:此术五尺有四间者,有四差也。今本末相减,余即四差之凡数也。以

四约之,即得每尺之差。以差数减本重,余即次尺之重也。为术所置,如是而已。

今此率以四为母,故令母乘本为衰,通其率也。亦可置末重,以四间乘之,为上

第一衰。以差重率加之,为次下衰也。〕

副置下第一衰,以为法。以本重四斤遍乘列衰,各自为实。实如法得一斤。

〔以下第一衰为法,以本重乘其分母之数,而又反此率乘本重,为实。一乘

一除,势无损益,故惟本存焉。众衰相推为率,则其余可知也。亦可副置末衰为

法,而以末重二斤乘列衰为实。此虽迂回,然是其旧。故就新而言之也。〕

今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?答曰:甲得一钱

六分钱之二。乙得一钱六分钱之一。丙得一钱。丁得六分钱之五。戊得六分钱之

四。

术曰:置钱,锥行衰。

〔按:此术“锥行”者,谓如立锥:初一、次二、次三、次四、次五,各均,

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